Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Drittes Buch Teil A

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Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879) von Nicolaus Copernicus

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Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen.

Drittes Buch.

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Capitel 1.

Ueber das Vorrücken der Aequinoctien und Solstitien.

Nachdem die Erscheinung der Fixsterne dargelegt ist, müssen wir zu demjenigen übergehen, welches einem jährlichen Umlaufe unterworfen ist; und zu dem Ende wollen wir zuerst von der Veränderung der Nachtgleichen handeln, wegen derer man geglaubt hat, dass auch die Fixsterne sich bewegen. Da finden wir nun, dass die alten Mathematiker den Jahreswechsel, nämlich den natürlichen, welcher von der Nachtgleiche und der Sommerwende abhängt, von demjenigen nicht unterschieden haben, welcher von irgend einem der Fixsterne an gerechnet wird. Daher kommt es, dass sie die olympischen Jahre, welche vom heliakischen Aufgange des Sirius anfingen, für dieselben hielten, als diejenigen, welche von der Sonnenwende beginnen, indem der Unterschied der einen von den andern noch nicht erkannt war. Der Rhodier Hipparch aber, ein Mann von bewunderungswürdiger Geistesschärfe, bemerkte zuerst, dass sich dieselben von einander unterschieden, und fand, indem er die Grösse des Jahres aufmerksamer beobachtete, das auf die Fixsterne bezogene grösser, als das von den Nachtgleichen oder Sonnenwenden abhängige. Daraus schloss er, dass auch den Fixsternen eine gewisse Bewegung zukomme, die aber so langsam sei, dass sie nicht sogleich bemerkt würde. Gegenwärtig aber ist durch den Verlauf der Zeit diese Bewegung sehr auffallend geworden, so dass wir jetzt einen weit anderen Auf- und Untergang der Sternbilder und der Sterne beobachten, als die Alten angegeben haben; und die zwölf Theile der Zeichen des Thierkreises um einen ziemlich grossen Abstand von denjenigen Sternbildern zurückgewichen sind, welche ursprünglich mit ihrer Bezeichnung und Stellung übereinstimmten. Diese Bewegung wird ausserdem noch ungleichmässig gefunden, und Diejenigen, welche den Grund von dieser Ungleichmässigkeit angeben wollten, haben verschiedene Ansichten aufgestellt. Einige glaubten, sie bestehe in einem gewissen Schwanken der schwebenden Welt, wie man bei den Planeten auch ein solches Schwanken um ihre Breiten wahrnimmt; sie werde deshalb einst um ebenso viel wieder zurückgehen, um wieviel sie von gewissen Grenzen aus vorgeschritten wäre, und ihre Abweichung nach beiden Seiten betrage, von ihrer Mitte gerechnet, nicht mehr als 8 Grade. Aber diese jetzt veraltete Ansicht konnte hauptsächlich deshalb nicht bestehen, weil es schon hinreichend feststeht, dass der Kopf des Sternbildes Widder von dem Frühlingsnachtgleichenpunkte um mehr als dreimal 8 Grade abweicht, und dies bei den andern Sternen sich ebenso verhält, während inzwischen so viele Jahrhunderte hindurch keine Spur eines Zurückgehens bemerkt ist. Andere sind der Meinung gewesen, dass die Sphäre der Fixsterne mit ungleichmässiger Bewegung vorschreite, haben aber kein bestimmtes Maass angegeben. Dazu kam noch überdies ein anderes Naturräthsel, dass nämlich, wie wir schon gesagt haben, die Schiefe der Ekliptik uns nicht mehr so gross erscheint, als dem Ptolemäus, weshalb Einige eine neunte, Andere eine zehnte Sphäre in der Hoffnung ersannen, dadurch die Ursache zu finden; dennoch konnten sie das Versprochene nicht leisten und schon sollte noch eine elfte Sphäre hinzukommen Diese Zahl von Sphären werden wir aber bei einer Bewegung der Erde leicht als überflüssig beseitigen. Wie wir schon im ersten Buche^[1] zum Theil auseinandergesetzt haben, sind nämlich die beiden Bewegungen, der jährlichen Declination und des Mittelpunktes der Erde, nicht völlig gleich, und zwar übertrifft die rückläufige Bewegung der Declination, den Umlauf des Mittelpunktes um ein Geringes. Daraus muss nothwendig folgen, dass die Nachtgleichen und Sonnenwenden, zurückzuweichen scheinen; nicht weil die Sphäre der Fixsterne vorwärts, sondern vielmehr weil der Aequator, der wegen der Neigung der Erdaxe gegen die Ebene der Ekliptik selbst geneigt ist, rückwärts fortrückt. Es erscheint nämlich in Rücksicht auf das Grössere und Kleinere, angemessener, dass man sagt, der Aequator sei gegen die Ekliptik, als die Ekliptik sei gegen den Aequator geneigt. Die Ekliptik, welche durch die Entfernung der Sonne von der Erde im jährlichen Umlaufe beschrieben wird, ist nämlich viel grösser, als der Aequator, welcher, wie gesagt, durch die tägliche Bewegung der Erde um ihre Axe bestimmt wird. In dieser Weise sieht man jene Schnittpunkte der Nachtgleichen, mit der ganzen Neigung der Ekliptik im Laufe der Zeit vorrücken, die Sterne aber zurückweichen. Das Maass dieser Bewegung aber, und das Verhältniss der Ungleichmässigkeit, war den Alten so sehr verborgen, dass man nicht wusste, wie viel bis dahin die Bewegung betragen habe, und zwar wegen ihrer nicht abzuwartenden Langsamkeit, da sie seit so vielen Jahrhunderten, in denen sie anfangs den Sterblichen unbekannt geblieben war, kaum den fünfzehnten Theil des Kreises zurückgelegt hat. Nichts desto weniger werden wir, nach dem, was uns die Geschichte der Beobachtungen davon überliefert hat, dieselbe, so weit wir dies vermögen, bestimmen.

Capitel 2.

Geschichte der Beobachtungen, welche beweisen, dass das Vorrücken der Nachtgleichen und Sonnenwenden ungleichförmig sei.

In der ersten 76jährigen Periode des Callippus, im 36sten Jahre derselben, welches das 30ste Jahr seit dem Tode Alexander’s^[2] war, verzeichnete der Alexandriner Timochares^[3], der sich zuerst um die Oerter der Fixsterne bekümmerte, dass die Spica, welche die Jungfrau hält, um 82⅓° vom Sonnenwendepunkte abstehe und eine südliche Breite von 2° habe: und dass dem Sterne, welcher von den dreien in der Stirn des Scorpiones der nördlichste, und in der Ordnung der Bildung dieses Sternbildes der erste ist, eine Breite von 1⅓° und eine Länge von 32° von dem Herbstnachtgleichenpunkte zukomme. Und im 48sten Jahre^[4] derselben Periode fand er die Länge der Spica der Jungfrau zu 82½° von der Sommersonnenwende, während die Breite dieselbe geblieben war. Hipparch aber fand im 50sten Jahre der dritten Callippischen Periode, also im Jahre 196 nach Alexander^[5], den Stern, welcher in der Brust des Löwen Regulus genannt wird, vom Sommersonnenwendepunkte 29½° und ⅓° abstehend. Darauf gab der römische Geometer Menelaus im ersten Jahre des Kaisers Trajan, welches das 99ste nach Christo, und das 422ste nach Alexanders Tode war, den Abstand der Spica der Jungfrau zu 86¼° Länge an; den Stern in der Stirn des Scorpion’s aber zu 36° weniger 1/12° vom Herbstnachtgleichenpunkte. Diesem folgte Ptolemäus, im zweiten Jahre des Antoninus Pius, welches das 462ste Jahr nach Alexanders Tode^[6] war; er behauptet, die Länge des Regulus im Löwen zu 32½° vom Sonnenwendepunkte, die der Spica zu 86⅔°, und die des Sternes in der Stirn des Scorpions zu 36⅓° vom Herbstäquinoctium erhalten zu haben, während sich die Breite nicht im Geringsten geändert hatte, wie sie oben in dem Verzeichnisse gegeben ist. Und diese Angaben, wie sie von Jenen überliefert sind, haben wir von Neuem untersucht. Nach einer geraumen Zeit nämlich im Jahre 1202 nach Alexanders Tode^[7], folgt die Beobachtung des Mahometus Aracensis^[8], dem man am meisten vertrauen darf, und in diesem Jahre zeigte sich, dass Regulus oder Basiliscus des Löwen bis 44° 5′ vom Sonnenwendepunkte, und jener in der Stirn des Scorpion’s bis 47° 50′ vom Herbstnachtgleichenpunkte gekommen waren. Bei allen diesen blieb die Breite jedes Sternes dieselbe, so dass man hierüber keinen Zweifel mehr hegt. Auch wir haben im Jahre Christi 1525, dem ersten nach einem Schaltjahre römischer Zeitrechnung, welches von dem Tode Alexanders um 1849 ägyptische Jahre^[9] absteht, in Frauenburg in Preussen, die oft genannte Spica beobachtet, und schien ihre grösste Höhe im Meridiankreise nahezu 27° zu sein. Die Breite aber von Frauenburg haben wir zu 54° 19½′^[10] gefunden. Daraus ergiebt sich die Declination jener zu 8° 40′^[11] vom Aequator. Hiernach wird ihr Ort, wie folgt, festgestellt. Wir beschreiben den Meridiankreis durch die beiden Pole der Ekliptik und des

Aequators $abcd$, und in demselben liegen die gemeinschaftlichen Schnittkanten und Durchmesser: für den Aequator $aec$, und für die Ekliptik $bed$; der Letzteren nördlicher Pol sei $f$, und ihre Axe $feg$. Nun sei $b$ der Anfang des Steinbocks, $d$ der des Krebses, der Bogen $bh$ gleich der zwei Grade betragenden südlichen Breite des Sternes, und $hl$ durch $h$ parallel mit $bd$ gezogen. Diese Linie schneide die Axe der Ekliptik in $i$, und den Aequator in $k$. Ebenso nehme man den Bogen $ma$ gemäss der südlichen Declination des Sternes zu 8° 40′, und ziehe durch $m$ parallel mit $ac$ die Linie $mn$; diese schneidet die mit der Ekliptik parallel gezogene Linie $hil$, und zwar mag dies in $o$ geschehen. Das Loth $op$ wird gleich sein der Hälfte der Sehne der doppelten Declination $am$. Die Kreise aber, deren Durchmesser $fg$, $hl$ und $mn$ sind, stehen senkrecht auf der Ebene $abcd$, und ihre gemeinschaftlichen Schnittkanten stehen, nach dem 19ten Satze des elften Buches der Elemente Euklid’s, in den Punkten $o$ und $i$ senkrecht auf derselben Ebene, und sind nach dem 6ten Satze desselben Buches, einander parallel. Und da $i$ der Mittelpunkt des Kreises ist, dessen Durchmesser $hl$: so ist $oi$ gleich der Hälfte der Sehne des doppelten Bogens in dem Kreise vom Durchmesser $hl$, welcher demjenigen entspricht, um welchen der Stern vom Anfange der Wage, seiner Länge, welche wir suchen, gemäss absteht. Diese Länge wird aber auf folgende Weise gefunden: Die Winkel $okp$ und $acb$ sind als correspondirende Winkel einander gleich, und $opk$ ist ein Rechter. Deswegen verhält sich $op$ zu $ok$, wie die Hälften der Sehnen der doppelten $ab$ zu $be$ und wie die Hälften der Sehnen der doppelten $ah$ zu $hik$, weil sie ein mit $opk$ ähnliches Dreieck bilden. Aber $ab$ ist 23° 281/2′, die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens beträgt 39832 solcher Theile, von denen $bc$ 100000 enthält; und $abh$ ist 25° 281/2′, die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens beträgt 43010; und $ma$ ist die Hälfte der Sehne der doppelten Declination = 15069. Hieraus folgt, dass die ganze Linie $hik$ 107978 und $ok$ 37831 und der Rest $ho$ 70147 Theile beträgt. Die Linie $hoi$ enthält aber 99939 Theile, von denen $be$ 100000 enthält, also misst der Rest $oi$ 29892. Insofern aber $hoi$ als der Halbmesser 100000 ist, wird $oi$ 29810 und diesem entspricht nahezu ein Bogen von 17° 21′, um welchen die Spica der Jungfrau vom Anfange der Wage abstand, und dies war der Ort dieses Sternes. Vor zehn Jahren, also im Jahre 1515 haben wir gefunden, dass sie um 8° 36′ declinire, und ihr Ort in 17° 14′ der Wage sei. Ptolemäus aber berichtet, dass sie nur um einen halben Grad declinirt habe, und dass also ihr Ort 26° 40′ der Jungfrau gewesen sei, was nach der Vergleichung mit den früheren Beobachtungen zuverlässig zu sein scheint. Hieraus scheint sich hinreichend sicher zu ergeben, dass in der ganzen Zeit von Timochares bis Ptolemäus in 432 Jahren die Nachtgleichen und Sonnenwenden durch ein Vorrücken von einem Grade in je hundert Jahren

sich geändert haben, so dass ihr Fortschreiten immer im Verhäitnisse der Zeit zur Länge stand und dies betrug im Ganzen 4⅓°. Auch nach der Vergleichung der Sonnenwende mit dem Basiliscus des Löwen, hat das Vorrücken seit Hipparch bis Ptolemäus in 266 Jahren 2⅔° betragen, so dass auch hier durch die Vergleichung mit der Zeit, ein Vorrücken um einen Grad in je 100 Jahren gefunden wird. Vergleicht man ferner den ersten Stern in der Stirn des Scorpion’s bei Albategnius und bei Menelaus: so scheinen, da in 782 mittleren Jahren 11° 55′ durchlaufen wurden, auf einen Grad nicht 100 sondern 66 Jahre zu kommen. Aber von Ptolemäus an in 741 Jahren kommen nur 65 Jahre auf einen Grad. Nimmt man endlich den übrigen Zeitraum von 645 Jahren mit der Differenz von 9° 11′ unserer Beobachtung zusammen: so kommen auf einen Grad 71 Jahre. Hieraus geht hervor, dass die Präcession der Nachtgleichen in jenen 400 Jahren vor Ptolemäus langsamer gewesen sei, als von Ptolemäus bis Albategnius, und diese wieder geschwinder, als von Albategnius bis auf unsere Zeit. Auch in der Bewegung der Schiefe findet sich ein Unterschied. Denn der Samier Aristarch^[12] giebt die Schiefe der Ekliptik gegen den Aequator ebenso wie Ptolemäus^[13] zu 23° 51′ 20″ an. Albategnius zu 23° 26′^[14] Der Spanier Arzachel^[15] 190 Jahre später zu 23° 34′. Und der Jude Prophatius^[16] 230 Jahre nachher zu ungefähr 2′ geringer. Zu unsern Zeiten wird sie nicht grösser als 23° 28½′^[17] gefunden. So dass hieraus sich ergiebt, dass die Bewegung von Aristarch bis Ptolemäus am kleinsten, von Ptolemäus bis Albategnius aber am grössten gewesen ist.^[18]

Capitel 3.

Hypothesen, aus denen die Veränderung der Nachtgleichen, der Schiefe der Ekliptik und des Aequators abgeleitet wird.

Dass also die Nachtgleichen und Sonnenwenden mit ungleichförmiger Geschwindigkeit sich ändern, scheint aus dem Vorhergehenden klar zu sein. Es dürfte vielleicht Niemand hierfür einen besseren Grund angeben, als eine gewisse Bewegung der Erdaxe und der Pole des Aequators; und das scheint auch wirklich aus der Vorstellung von der Bewegung der Erde zu folgen; da es sicher ist, dass der Kreis, welcher durch die Mitte der Zeichen gelegt ist, ewig unveränderlich bleibt, was die sich gleich bleibenden Breiten der Fixsterne beweisen, der Aequator aber sich ändert; wie denn, wenn die Bewegung der Erdaxe einfach und genau mit der Bewegung des Mittelpunktes übereinstimmte, wie gesagt, durchaus kein Vorrücken der Nachtgleichen und Sonnenwenden zur Erscheinung kommen würde. Wenn dieselben aber von einander verschieden sind, und zwar um eine nicht gleichbleibende Differenz: so ist auch nothwendig, dass die Sonnenwenden und Nachtgleichen mit ungleichförmiger Geschwindigkeit gegen die Oerter der Sterne vorrücken. Auf dieselbe Weise geht die Bewegung der Declination vor sich, welche die Schiefe der Ekliptik, die jedoch richtiger dem Aequator

zuzuschreiben wäre, ebenfalls ungleichförmig ändert. Deshalb müssen überhaupt zwei wechselnde, Pendelschwingungen ähnliche Bewegungen angenommen werden: indem die Pole und Kreise an einer Kugel mit einander zusammenhängen und übereinstimmen. Es wird nämlich eine Bewegung bestehen, welche die Neigung jener Kreise verändert, indem die Pole um Centriwinkel auf- und abwärts sich bewegen; eine andere, welche das Vorrücken der Sonnenwenden und Nachtgleichen vermehrt und vermindert: indem von beiden Polen eine seitliche Bewegung ausgeführt wird. Diese Bewegungen nennen wir aber Librationen, weil sie den Pendeln ähnlich auf demselben Wege, in der Mitte zwischen ihren beiden Grenzen beschleunigter, an den Grenzen selbst am langsamsten sind; wie solche häufig bei den Elongationen der Planeten vorkommen, was wir an seinem Orte betrachten werden. Sie unterscheiden sich auch in ihren Umläufen, weil die Ungleichförmigkeit der Nachtgleichen, während einer Wiederkehr der Schiefe, zweimal wiederkehrt. Wie aber bei jeder erscheinenden ungleichförmigen Bewegung, ein Mittel aufgefunden werden muss, an welchem das Verhältniss der Ungleichförmigkeit gemessen werden kann: so musste man natürlich auch hier mittlere Pole, einen mittleren Aequator, mittlere Nachtgleichen- und Sonnenwendepunkte aufsuchen, um welche die Pole und der Erdäquator, nach beiden Seiten abweichend, jene verschiedenen Bewegungen in feststehenden Grenzen, doch als gleichförmige erscheinen lassen. Jene beiden mit einander zusammentreffenden Librationen bewirken also, dass die Erdpole mit der Zeit gewisse, einem gedrehten Ringe ähnliche Linien beschreiben. Da aber dies nicht leicht mit Worten hinreichend ausgedrückt

werden kann, zumal wenn es nur mit dem Gehör aufgefasst, und nicht zugleich mit den Augen angeschaut wird: so beschreiben wir die Ekliptik $abcd$ auf einer Kugel, ihr nördlicher Pol sei $e$, der Anfang des Steinbocks $a$, der des Krebses $c$, der des Widders $b$, der der Wage $d$; und durch die Punkte $a$ und $c$ und den Pol $e$ werde der Kreis $aec$ gelegt. Die grösste Entfernung der Nordpole der Ekliptik und des Aequators sei $ef$, die kleinste $eg$: und ebenso sei der Pol $i$ im mittleren Orte, um welchen der sogenannte mittlere

Aequator $bhd$ beschrieben werde, und $b$ und $d$ seien die mittleren Nachtgleichen, welche beide um den Punkt $e$ immer in gleicher Bewegung rückwärts, d. i. gegen die Ordnung der Zeichen an der Fixsternsphäre, und, wie gesagt, in langsamer Bewegung fortrücken. Jetzt wird man beide zusammenhängende pendelartige Bewegungen der Erdpole verstehen, die eine zwischen den Grenzen $f$ und $g$, welche die Bewegung der Anomalie, d. h. der Ungleichheit der Declination genannt werden mag: die andere, seitlich hin und her gehende doppelt so schnell, als die vorige, welche wir die Anomalie der Nachtgleichen nennen wollen. Diese beiden in den Polen zugleich stattfindenden Bewegungen, lenken dieselben auf merkwürdige Weise ab. Setzen wir nämlich zuerst den Nordpol der Erde in $f$: so wird der um denselben beschriebene Aequator durch dieselben Punkte $b$ und $d$, nämlich durch die Pole des Kreises $afec$ gehen; den Winkel der Schiefe aber im Verhältniss des Bogens $fi$ vergrössern. Soll von diesem Anfangspunkte der Pol der Erde zur mittleren Schiefe, nämlich zu $i$, übergehen: so gestattet die dazu kommende andere Bewegung nicht, dass derselbe grade längs $fi$ fortschreite, sondern führt ihn rechtläufig auf dem Umwege durch die grösste Abweichung, welche in $k$ liegen mag, herum. In dieser Stellung wird der Schnittpunkt des wahren Aequators $oqp$ nicht in $b$ sein, sondern hinter diesem in $o$ liegen, und das Vorrücken der Nachtgleichen wird um das Stück $bo$ vermindert. Von hier wendet sich der Pol um, und indem er rückläufig fortgeht, gelangt er durch die beiden zusammenwirkenden Bewegungen in die Mitte $i$, und der wahre Aequator fällt in allen Punkten mit dem mittleren zusammen. Von hier weitergehend, bewegt sich der Erdpol rückwärts, trennt den wahren Aequator von dem mittleren, und vergrössert das Vorrücken der Nachtgleichen bis zur andern Grenze $l$. Von hier sich zurückwendend, nimmt er den Nachtgleichen das, was er ihnen eben hinzugefügt hatte, bis er im Punkte $g$ angekommen, die kleinste Schiefe in demselben Punkte $b$ hervorbringt, in welchem Punkte wieder die Bewegung der Nachtgleichen und Sonnenwenden ungefähr in derselben Weise wie in $f$ am langsamsten erscheint. Zu dieser Zeit hat offenbar die Ungleichheit der Letzteren ihren Umlauf vollendet, da sie beide Extreme von der Mitte aus erreicht hat; die Bewegung der Schiefe aber hat von der grössten Declination zur kleinsten nur erst den halben Umlauf zurückgelegt. Von hier fortfahrend kommt der Pol wieder rechtläuflg zu der äussersten Grenze in $m$, und von Neuem rückläufig, trifft er mit dem Mittleren zusammen, und nachdem er wiederum rückwärts gewendet die Grenze $n$ durchlaufen hat, vollendet er endlich, wie gesagt, die gedrehte Linie $fkilgminf$. Auf diese Weise ist klar, dass während einer Wiederkehr der Schiefe, der Erdpol zweimal die vorwärts und rückwärts liegenden Grenzen erreicht.

Capitel 4.

Wie die wechselseitige Bewegung der Libration aus Kreisbewegungen besteht.

Dass nun diese Bewegung mit den Erscheinungen übereinstimmt, wollen wir alsbald auseinandersetzen. Man möchte aber inzwischen die Frage aufwerfen, auf welche Weise die Gleichmässigkeit jener Libration begriffen werden könne, da doch im Anfange behauptet worden, dass die Himmelsbewegung gleichmässig, oder doch aus gleichmässigen Kreisbewegungen zusammengesetzt ist; hier aber zwei Bewegungen, und jede zwischen zweien Grenzen, zu einer vereinigt zur Erscheinung kommen, wodurch nothwendig eine Ungleichmässigkeit eintreten muss. Wir geben zwar zu, dass dieselben zusammengesetzt sind, leiten sie aber folgendermaassen aus gleichmässigen ab.

Es sei $ab$ eine grade Linie, welche durch die Punkte $c$, $d$ und $e$ in vier gleiche Theile getheilt ist; um $d$ werden die concentrischen und in derselben Ebene liegenden Kreise von den Durchmessern $adb$ und $cde$ beschrieben; in der Peripherie des innern Kreises wird irgendwo ein Punkt $f$ angenommen, um diesen Punkt $f$ mit dem Radius $fd$ der Kreis $ghd$ beschrieben, welcher die grade Linie $ab$ im Punkte $h$ schneidet, und der Durchmesser $dfg$ gezogen. Es ist zu zeigen, dass wenn die vereinigten Bewegungen der Kreise $ghd$ und $cfe$ zugleich stattfinden, der bewegliche Punkt $h$ auf der graden Linie $ab$ hin und her rückt; und dies wird nachgewiesen sein, wenn eingesehen ist, dass $h$ nach entgegengesetzten Seiten und doppelt so geschwind, als $f$ sich bewegt. Der Centriwinkel $cdf$ im Kreise $cfe$, der zugleich Peripheriewinkel im Kreise $ghd$ ist, schliesst in den beiden Kreisen Bogen ein, von denen $gh$ doppelt so gross ist, als $fc$. Setzen wir nun den Fall, dass zu irgend einer Zeit beim Zusammenfallen der graden Linien $acd$ und $dfg$ der bewegliche Punkt $h$ in $g$, also auch in $a$, und $f$ in $c$ falle: so ist der Mittelpunkt $f$ nach rechts durch $fc$ fortgegangen und $h$ nach links durch den Bogen $gh$, der doppelt so gross, als $cf$ ist; somit wird also $h$ von der entgegengesetzten Seite her in die Linie $ab$ sich zurückbewegen, sonst nämlich wäre der Theil grösser, als sein Ganzes, was, wie ich glaube, leicht einzusehen ist. Der Punkt $h$ entfernt sich aber von dem früheren Orte $a$ um $ah$, indem er durch die gebrochene Linie $dfh$, welche gleich $ad$ ist, um dasjenige Stück zurückgezogen wird, um welches der Durchmesser $dfg$ grösser ist, als die Sehne $dh$. Und auf diese Weise wird $h$ zum Mittelpunkte $d$ fortgeführt,

welcher im Berührungspunkte des Kreises $dhg$ mit der graden Linie $ab$ liegt, weil nämlich dann $gd$ rechtwinklig gegen $ab$ stehen wird. Und darauf gelangt der Punkt $h$ zu der andern Grenze $b$, von welcher aus er wieder in ähnlicher Weise zurückgeführt wird^[19]. Es leuchtet also ein, dass aus zweien Kreisbewegungen, welche auf diese Weise einander entgegengesetzt sind, eine gradlinige, und aus zweien zugleich stattfindenden gleichförmigen, eine ungleichförmige Bewegung sich zusammensetze. Hieraus folgt auch noch, dass die grade Linie $gh$ immer rechtwinklig gegen $ab$ steht, weil diese beiden Linien in dem Halbkreise $dhg$ einen rechten Winkel einschliessen. Und daher ist $gh$ die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens $ag$ und die andere Linie $dh$ die Hälfte der Sehne desjenigen doppelten Bogens, welcher von dem Quadranten nach Abzug von $ag$ übrig bleibt, wobei der Kreis $agb$ doppelt so gross ist, als $hgd$, gemäss den Durchmessern.

Capitel 5.

Beweis für die Ungleichmässigkeit des Vorrückens der Nachtgleichen und der Schiefe.

Diese Bewegung nennen Einige, eben dieser Begründung wegen, die Bewegung in der Breite des Kreises, d. h. in seinem Durchmesser; messen jedoch ihre Periode und ihre Gleichmässigkeit in dem Bogen, ihren Betrag aber in den Sehnen. Es kann daher leicht nachgewiesen werden, dass dieselbe als eine ungleichmässige in die Erscheinung tritt, und zwar als eine beschleunigte am Mittelpunkte, und als eine langsamere an der Peripherie.

Es sei $abc$ ein Halbkreis, $d$ sein Mittelpunkt, $adc$ der Durchmesser, und der Halbkreis werde im Punkte $b$ halbirt. Die Bogen $ae$ und $bf$ seien gleichgemacht, und von den Punkten $f$ und $e$ auf $adc$ die Lothe $eg$ und $fk$ gefällt. Da nun das Doppelte von $dk$ die Sehne des Doppelten $bf$, und das Doppelte von $eg$ die Sehne des Doppelten $ae$ ist: so sind also $dk$ und $eg$ einander gleich. Aber $ag$ ist nach dem siebenten Satze des dritten Buches der Elemente Euklid’s, kleiner als $ge$, also auch kleiner als $dk$. Wegen der gleichen Bogen $ae$ und $bf$ werden aber $ga$ und $kd$ in gleichen Zeiten zurückgelegt, folglich ist die Bewegung in der Nähe des Punktes $a$ der Peripherie langsamer, als in der Nähe des Mittelpunktes $d$. Nachdem dies bewiesen, werde in $l$ der Mittelpunkt der Erde angenommen: so dass die grade Linie $dl$ rechtwinklig gegen die Ebene des Halbkreises $abc$ stehe; durch die Punkte $a$ und $c$ werde vom Mittelpunkte $l$ aus der Bogen eines Kreises $amc$ beschrieben, und die grade Linie $ldm$ gezogen. Es wird also in $m$ der Pol des Halbkreises $abc$ liegen, $adc$ wird die gemeinschaftliche Sehne der Kreise sein, und man ziehe $la$, $lc$, $lk$ und $lg$, von denen die letzteren Beiden verlängert den Bogen $amc$ in $n$ und $o$ schneiden. Da nun der Winkel $ldk$ ein Rechter ist: so ist $lkd$ ein spitzer. Deshalb ist auch die Linie $lk$ länger als $ld$; um so mehr sind in den stumpfwinkligen Dreiecken die Seite $lg$ grösser als $lk$, und $la$ grösser als $lg$. Aus dem Mittelpunkte $l$ werde mit dem Radius $lk$ ein Kreis $pkrs$ beschrieben, welcher $ld$ nicht, wohl aber $lg$ und $la$ schneidet. Und da das Dreieck $ldk$ kleiner ist, als der Kreisausschnitt $lpk$, das Dreieck $lga$ aber grösser, als der Kreisausschnitt $lrs$, und daher das Verhältniss des Dreiecks $ldk$ zu dem Kreisausschnitte $lpk$ kleiner ist, als dasjenige des Dreiecks $lga$ zu dem Kreisausschnitte $lrs$: so wird auch das Dreieck $ldk$ zum Dreiecke $lga$ in einem kleineren Verhältnisse stehen, als der Kreisausschnitt $lpk$ zum Kreisausschnitte $lrs$; und nach dem ersten Satze des sechsten Buches der Elemente Euklid’s, verhält sich die Basis $dk$ zu der Basis $ag$, wie das Dreieck $ldk$ zu dem Dreiecke $lga$. Das Verhältniss des Kreisausschnittes zum Kreisausschnitte ist aber wie dasjenige des Winkels $dlk$ zum Winkel $rls$, oder wie das des Bogens $mn$ zu dem Bogen $oa$. Also steht $dk$ zu $ag$ in einem kleineren Verhältnisse, als $mn$ zu $oa$. Wir haben aber schon bewiesen, dass $dk$ grösser als $ga$ sei, um so mehr wird also auch $mn$ grösser sein als $oa$, welche offenbar die in gleichen Zeiträumen von den Erdpolen längs den gleichen Bogen $ae$ und $bf$ beschriebenen Anomalien sind, was zu beweisen war. Da jedoch der Unterschied zwischen der grössten und kleinsten Schiefe so klein ist, dass er nicht zwei Fünftel eines Grades überschreitet: so wird auch der Unterschied zwischen der krummen Linie $amc$ und der graden $adc$ so unmerklich, dass kein Fehler entsteht, wenn wir einfach mit der graden Linie $adc$ und dem Halbkreise $abc$ verfahren. Ungefähr dieselbe Bewandniss hat es mit der andern Bewegung der Pole, welche sich auf die Nachtgleichen bezieht, da auch diese nicht um einen halben Grad wächst, wie sich das weiter unten ergeben wird.

Es sei $abcd$ wiederum der Kreis durch die Pole der Ekliptik und des mittleren Aequators, welchen wir den mittleren Colur des Krebses nennen können. Die Hälfte der Ekliptik sei $deb$; die des mittleren Aequators $aec$, sie schneiden sich einander im Punkte $e$, in welchem die mittlere Nachtgleiche liegt. Der Pol des mittleren Aequators aber sei $f$, durch welchen ein grösster Kreis $fet$ beschrieben wird, der also selbst der Colur der mittleren oder gleichen Nachtgleichen ist. Wir wollen nun, des leichteren Beweises wegen, die Libration der Nachtgleichen von der Schiefe der Ekliptik trennen, und nehmen auf dem Colur $ef$ den Bogen $fg$,

um welchen der Pol $g$ des wahren Aequators von dem Pole $f$ des mittleren abweichen mag, um diesen Pol $g$ werde der Halbkreis $alkc$ des wahren Aequators beschrieben, welcher die Ekliptik in $l$ schneidet. Es wird also der Punkt $l$ selbst die wahre Nachtgleiche sein, welche von der mittleren um den Bogen $le$ absteht, wie dies die Gleichheit von $ek$ und $fg$ bedingt. Wenn wir um $k$, als um einen Pol, den Kreis $agc$ beschreiben: so sehen wir, dass der Pol des Aequators, während der Libration $fg$, als wahrer Pol nicht im Punkte $g$ bleibt, sondern durch die andere Libration um den Bogen $go$ gegen die Ekliptik sich neigt. Bleibt also $bed$ die Ekliptik: so wird die wahre erscheinende Nachtgleiche durch die Versetzung des Poles $o$ verändert. Die Bewegung des Schnittpunktes $l$ des wahren Aequators wird auf ähnliche Weise um die Mitte $e$ beschleunigter, am langsamsten an den äussersten Enden, fast proportional der schon nachgewiesenen Schwankung der Pole. Was erkannt zu haben, der Mühe werth war.

Capitel 6.

Ueber die gleichförmigen Bewegungen des Vorrückens der Nachtgleichen und der Schiefe der Ekliptik.

Jede ungleichförmig erscheinende Kreisbewegung geht in vier Bestimmungen vor sich, nämlich in den äussersten Punkten, wo sie am langsamsten und wo sie am geschwindesten erscheint, und in den Zwischenpunkten, wo sie eine mittlere ist. Von dem Aufhören der Verlangsamung und dem Anfange der Beschleunigung geht sie nämlich in die mittlere über, von der mittleren steigert sie sich zur grössten Geschwindigkeit, von dieser geht sie wieder in die mittlere über, und von da kehrt sie zur anfänglichen grössten Langsamkeit zurück. Hiernach kann erkannt werden, in welchem Theile des Kreislaufes der Ort der Ungleichheit oder der Anomalie für irgend eine Zeit gewesen ist, und aus diesen Angaben wird auch die Periode der Anomalie erhalten.

In einem geviertheilten Kreise sei $a$ der Ort der grössten Langsamkeit, $b$ der Ort für die wachsende mittlere Geschwindigkeit, $c$ der Ort, wo das Wachsthum aufhört und die Abnahme anfängt, und $d$ der Ort für die abnehmende mittlere Geschwindigkeit. Da nun, wie oben^[20] gesagt ist, von Timochares bis Ptolemäus die erscheinende Bewegung des Vorrückens der Nachtgleichen gegen die übrigen Zeiten langsamer gefunden ist, und weil dieselbe eine Zeit lang gleichförmig zu sein schien, wie das die Beobachtungen des Aristyllus^[21], des Hipparchus^[22], des Agrippa^[23] und des Menelaus^[24] in der Zwischenzeit zeigen: so beweist dies, dass die erscheinende Bewegung der Nachtgleichen

in der Mitte dieser Zeit schlechthin am langsamsten und im Anfange des Wachsthums gewesen ist, indem die aufhörende Abnahme, verbunden mit dem anfangenden Wachsthume, durch gegenseitige Ausgleichung bewirkte, dass während dem die Bewegung gleichförmig erschien. Deshalb ist die Beobachtung des Timochares in den letzten Theil des Kreises $da$ zu setzen; die Ptolemäische aber bezeichnete den ersten Quadranten $ab$. Weil wiederum in dem zweiten Zeitraume von Ptolemäus bis Albategnius^[25] die Bewegung geschwinder gefunden wird, als in dem dritten: so zeigt dies, dass in dem zweiten Zeitraume die grösste Geschwindigkeit, d h. der Punkt $c$ durchlaufen, und die Anomalie schon zum dritten Quadranten $cd$ des Kreises gekommen ist, und dass in dem dritten Zeitraume bis auf uns der Umlauf der Anomalie nahezu vollendet wird, und zu dem Anfange des Timochares zurückkehrt. Wenn wir nämlich in den 1819 Jahren, von Timochares bis auf uns, den ganzen Kreis in die gewöhnlichen 360 Grade theilen: so erhalten wir für 432 Jahre einen Bogen von 851/2°, für 742 Jahre 146° 51′, und für die übrigen 645 Jahre den übrigen Bogen von 127° 39′. Dies gewinnen wir leicht durch einfaches Ueberschlagen, wenn wir dasselbe aber durch eine eingehendere Rechnung mit den Beobachtungen genauer in Uebereinstimmung zu bringen suchen, so finden wir, dass die Bewegung der Anomalie in 1819 ägyptischen Jahren ihren vollständigen Umlauf bereits um 21° 24′ überschritten hat und dass ihre Periode nur 1717 ägyptische Jahre umfasst^[26], und nach diesem Verhältnisse enthält der erste Kreisabschnitt 90° 35′, der andere 155° 34′, der dritte aber für die übrigen 543 Jahre 113° 51′. Nachdem dies feststeht, ergiebt sich auch, dass die mittlere Bewegung des Vorrückens der Nachtgleichen in denselben 1717 Jahren, in denen die ganze Ungleichheit in den früheren Zustand zurückgekehrt ist, 23° 57′^[27] beträgt; denn in 1819 Jahren haben wir eine erscheinende Bewegung von ungefähr 25° 1′ gehabt; von Timochares aber an musste in den 102 Jahren, um welche die 1717 Jahre von den 1819 Jahren sich unterscheiden, die erscheinende Bewegung ungefähr 1° 4′ betragen haben, und dass sie damals noch etwas grösser gewesen sei, dürfte wahrscheinlich sein, da sie in je 100 Jahren noch mehr, als einen Grad betrug, und im Abnehmen begriffen war, indem sie noch nicht auf das Ende der Abnahme folgte. Wenn wir nun einen und ein funfzehntel Grad von 25° 1′ abziehen: so bleibt, wie gesagt für die 1717 ägyptische Jahre eine, der ungleichmässigen und erscheinenden gleichwerthige, mittlere und gleichmässige Bewegung von 23° 57′, woraus der ganze und gleiche Umlauf der Präcession der Nachtgleichen sich zu 25816^[28] Jahren ergiebt, in welcher Zeit ungefähr 151/28 Umgänge der Anomalie eintreten. Diesem Verhältnisse passt sich auch die Bewegung der Schiefe an, von deren Umlaufe wir gesagt haben, dass er doppelt so lange dauere, als derjenige der Präcession der Nachtgleichen. Denn dass Ptolemäus angiebt, dass die Schiefe von 23° 51′ 20″ in den 400 Jahren vor ihm, seit Aristarch von Samos, sich gar nicht geändert habe, beweist, dass sie damals ungefähr an der Grenze der grössten Schiefe gewesen ist, als nämlich auch die Präcession in ihrer langsamsten Bewegung begriffen war. Aber jetzt, während die Wiederholung derselben Langsamkeit eintritt, geht die Neigung der Axe nicht in ihren grössten, sondern in ihren kleinsten Werth über, welchen, wie gesagt, Albategnius in der Zwischenzeit zu 23° 35′ der Spanier Arzachel, 190 Jahre nach ihm, zu 23° 34′, und wiederum nach 230 Jahren der Jude Prophatius um nahe 2 Minuten kleiner findet. Was endlich unsre Zeit betrifft: so haben wir durch häufige Beobachtung seit 30 Jahren ungefähr 23° 282/5′ ^[29] gefunden, wovon Georg Purbach^[30] und Johann v. Königsberg^[31], welche uns kurz vorangingen, wenig abweichen. Hieraus erhellt wiederum auf das Deutlichste, dass die Aenderung der Schiefe von Ptolemäus an, in 900 Jahren grösser geworden ist, als in irgend einem andern Zeitraume. Da wir nun schon die Umlaufszeit der Anomalie der Präcession zu 1717 Jahren besitzen: so werden wir auch an derselben Zeit die halbe Periode der Schiefe haben, und also in 3434 Jahren ihre ganze Umlaufszeit. Wenn wir nun mit derselben Anzahl von 3434 Jahren in 360 Grade theilen, also mit 1717 in 180: so ergiebt sich eine jährliche Bewegung der einfachen Anomalie von 6′ 17″ 24‴ 9⁗. Dies wiederum auf 365 Tage vertheilt, giebt eine tägliche Bewegung von 1″ 2‴ 2⁗. Wenn ebenso die mittlere Bewegung der Präcession, welche 23° 57′ beträgt, auf 1717 Jahre vertheilt wird, so ergiebt sich eine jährliche Bewegung von 50″ 12‴ 5⁗ ^[32] und dies auf 365 Tage vertheilt, giebt eine tägliche Bewegung von 8‴ 15⁗ ^[33]. Damit aber die Bewegungen deutlicher vorliegen und gleich zur Hand sind, so oft es wünschenswerth ist, wollen wir Tafeln oder Verzeichnisse davon entwerfen, indem wir immer eine gleiche jährliche Bewegung addiren, während wir immer 60 Theile einer Ordnung als eine Einheit der vorangehenden Ordnung zufügen, bis zu den Graden, wenn es dahin wachsen sollte; und dies, der Bequemlichkeit wegen, bis zu 60 Jahren fortsetzen, weil sich nach 60 Jahren wieder dieselben Zahlen ergeben, nur dass man dann die Bezeichnungen der Grade, Minuten, Secunden u. s. w. ändern muss; so dass, was früher Secunden waren, nun Minuten werden u. s. w., und vermöge dieser Abkürzung kann man durch diese compendiösen Tafeln wenigstens innerhalb 3600 Jahren, mittelst doppelten Eingehens für die vorgesetzten Jahre die gleichmässigen Bewegungen finden und ablesen. Ebenso verhält es sich auch mit den Anzahlen der Tage. Wir werden überall bei der Berechnung der Himmelsbewegungen ägyptische Jahre zu Grunde legen, weil diese allein unter den bürgerlichen Jahren gleich sind; und es nöthig ist, dass das Maass mit dem Gemessenen übereinstimmt, was bei den römischen, griechischen und persischen Jahren nicht so zutrifft, bei welchen man nicht nach einer und derselben Weise, sondern je nachdem es jedem Volke beliebt hat, einschaltet. Das ägyptische Jahr führt aber keine Zweideutigkeit herbei, wiegen der bestimmten Anzahl von 365 Tagen, welche in zwölf gleiche Monate eingetheilt sind, die der Reihe nach so heissen: Thoth, Phaophi, Athyr, Chiach^[34], Tybi, Mechir, Phamenoth, Pharmuthi, Pachon, Payni, Epiphi, Mesori. Diese umfassen sechsmal sechzig Tage und die fünf übrigen Tage nennt man Schalttage^[35]. Deshalb sind zum Berechnen der gleichmässigen Bewegungen die ägyptischen Jahre die geeignetsten, auf welche beliebige andere Jahre durch Auflösen in Tage leicht zurückgeführt werden.

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GLEICHMÄSSIGE BEWEGUNG DER PRÄCESSION DER NACHTGLEICHEN VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.

Aegyptische Jahre	Bewegung					Ort Christi 5° 32′ Anm.[36]	Aegyptische Jahre	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia
01	0	0	00	50	12		31	0	0	25	56	14
02	0	0	01	40	24		32	0	0	26	46	26
03	0	0	02	30	36		33	0	0	27	36	38
0
04	0	0	03	20	48		34	0	0	28	26	50
05	0	0	04	11	00		35	0	0	29	17	02
06	0	0	05	01	12		36	0	0	30	07	15
0
07	0	0	05	51	24		37	0	0	30	57	27
08	0	0	06	41	36		38	0	0	31	47	39
09	0	0	07	31	48		39	0	0	32	37	51
0
10	0	0	08	22	00		40	0	0	33	28	03
11	0	0	09	12	12		41	0	0	34	18	15
12	0	0	10	02	25		42	0	0	35	08	27
0
13	0	0	10	52	37		43	0	0	35	58	39
14	0	0	11	42	49		44	0	0	36	48	51
15	0	0	12	33	01		45	0	0	37	39	03
0
16	0	0	13	23	13		46	0	0	38	29	15
17	0	0	14	13	25		47	0	0	39	19	27
18	0	0	15	03	37		48	0	0	40	09	40
0
19	0	0	15	53	49		49	0	0	40	59	52
20	0	0	16	44	01		50	0	0	41	50	04
21	0	0	17	34	13		51	0	0	42	40	16
0
22	0	0	18	24	25		52	0	0	43	30	28
23	0	0	19	14	37		53	0	0	44	20	40
24	0	0	20	04	50		54	0	0	45	10	52
0
25	0	0	20	55	02		55	0	0	46	01	04
26	0	0	21	45	14		56	0	0	46	51	16
27	0	0	22	35	26		57	0	0	47	41	28
0
28	0	0	23	25	38		58	0	0	48	31	40
29	0	0	24	15	50		59	0	0	49	21	52
30	0	0	25	06	02		60	0	0	50	12	05

GLEICHMÄSSIGE BEWEGUNG DER PRÄCESSION DER NACHTGLEICHEN VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 5° 32′ Anm.[36]	Tage	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia
01	0	0	0	0	08		31	0	0	0	4	15
02	0	0	0	0	16		32	0	0	0	4	24
03	0	0	0	0	24		33	0	0	0	4	32
0
04	0	0	0	0	33		34	0	0	0	4	40
05	0	0	0	0	41		35	0	0	0	4	48
06	0	0	0	0	49		36	0	0	0	4	57
0
07	0	0	0	0	57		37	0	0	0	5	05
08	0	0	0	1	06		38	0	0	0	5	13
09	0	0	0	1	14		39	0	0	0	5	21
0
10	0	0	0	1	22		40	0	0	0	5	30
11	0	0	0	1	30		41	0	0	0	5	38
12	0	0	0	1	39		42	0	0	0	5	46
0
13	0	0	0	1	47		43	0	0	0	5	54
14	0	0	0	1	55		44	0	0	0	6	03
15	0	0	0	2	03		45	0	0	0	6	11
0
16	0	0	0	2	12		46	0	0	0	6	19
17	0	0	0	2	20		47	0	0	0	6	27
18	0	0	0	2	28		48	0	0	0	6	36
0
19	0	0	0	2	36		49	0	0	0	6	44
20	0	0	0	2	45		50	0	0	0	6	52
21	0	0	0	2	53		51	0	0	0	7	00
0
22	0	0	0	3	01		52	0	0	0	7	09
23	0	0	0	3	09		53	0	0	0	7	17
24	0	0	0	3	18		54	0	0	0	7	25
0
25	0	0	0	3	26		55	0	0	0	7	33
26	0	0	0	3	34		56	0	0	0	7	42
27	0	0	0	3	42		57	0	0	0	7	50
0
28	0	0	0	3	51		58	0	0	0	7	58
29	0	0	0	3	59		59	0	0	0	8	06
30	0	0	0	4	07		60	0	0	0	8	15

BEWEGUNG DER ANOMALIE DER NACHTGLEICHEN VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.

Aegyptische Jahre	Bewegung					Ort Christi 6° 45′ Anm.[36]	Aegyptische Jahre	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia
01	0	0	06	17	24		31	0	3	14	59	28
02	0	0	12	34	48		32	0	3	21	16	52
03	0	0	48	52	12		33	0	3	27	34	16
0
04	0	0	25	09	36		34	0	3	33	51	41
05	0	0	31	27	00		35	0	3	40	09	05
06	0	0	37	44	24		36	0	3	46	26	29
0
07	0	0	44	01	49		37	0	3	52	43	53
08	0	0	50	19	13		38	0	3	59	01	17
09	0	0	56	36	36		39	0	4	05	18	42
0
10	0	0	02	54	01		40	0	4	11	36	06
11	0	0	09	11	25		41	0	4	17	53	30
12	0	0	15	28	49		42	0	4	24	10	54
0
13	0	1	21	46	13		43	0	4	30	28	18
14	0	1	28	03	38		44	0	4	36	45	42
15	0	1	34	21	02		45	0	4	43	03	06
0
16	0	1	40	38	26		46	0	4	49	20	31
17	0	1	46	55	50		47	0	4	55	37	55
18	0	1	53	13	14		48	0	5	01	55	19
0
19	0	1	59	30	38		49	0	5	08	12	43
20	0	1	05	48	03		50	0	5	14	30	07
21	0	1	12	05	27		51	0	5	20	47	31
0
22	0	1	18	22	51		52	0	5	27	04	55
23	0	2	24	40	15		53	0	5	33	22	20
24	0	2	30	57	39		54	0	5	39	39	44
0
25	0	2	37	15	03		55	0	5	45	57	08
26	0	2	43	32	27		56	0	5	52	14	32
27	0	2	49	49	52		57	0	5	58	31	56
0
28	0	2	56	07	16		58	0	6	04	49	20
29	0	3	02	24	40		59	0	6	11	06	45
30	0	3	08	42	00		60	0	6	17	24	09

BEWEGUNG DER ANOMALIE DER NACHTGLEICHEN VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 6° 45′ Anm.[36]	Tage	Bewegung
	Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia			Sechzig	Grad	Min.	Secund.	Tertia
01	0	0	0	01	02		31	0	0	0	32	03
02	0	0	0	02	04		32	0	0	0	33	05
03	0	0	0	03	06		33	0	0	0	34	07
0
04	0	0	0	04	08		34	0	0	0	35	09
05	0	0	0	05	10		35	0	0	0	36	11
06	0	0	0	06	12		36	0	0	0	37	13
0
07	0	0	0	07	14		37	0	0	0	38	15
08	0	0	0	08	16		38	0	0	0	39	17
09	0	0	0	09	18		39	0	0	0	40	19
0
10	0	0	0	10	20		40	0	0	0	41	21
11	0	0	0	11	22		41	0	0	0	42	23
12	0	0	0	12	24		42	0	0	0	43	25
0
13	0	0	0	13	26		43	0	0	0	44	27
14	0	0	0	14	28		44	0	0	0	45	29
15	0	0	0	15	30		45	0	0	0	46	31
0
16	0	0	0	16	32		46	0	0	0	47	33
17	0	0	0	17	34		47	0	0	0	48	35
18	0	0	0	18	36		48	0	0	0	49	37
0
19	0	0	0	19	38		49	0	0	0	50	39
20	0	0	0	20	40		50	0	0	0	51	41
21	0	0	0	21	42		51	0	0	0	52	43
0
22	0	0	0	22	44		52	0	0	0	53	45
23	0	0	0	23	46		53	0	0	0	54	47
24	0	0	0	24	48		54	0	0	0	55	49
0
25	0	0	0	25	50		55	0	0	0	56	51
26	0	0	0	26	52		56	0	0	0	57	53
27	0	0	0	27	54		57	0	0	0	58	55
0
28	0	0	0	28	56		58	0	0	0	59	57
29	0	0	0	29	58		59	0	0	1	00	59
30	0	0	0	31	01		60	0	0	1	02	02

Capitel 7.

Welcher der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Präcession der Nachtgleichen sei.

Nachdem so die mittleren Bewegungen auseinandergesetzt sind, ist nunmehr zu untersuchen, wie gross der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung der Nachtgleichen, oder der Durchmesser des kleinen Kreises ist, in welchem die Bewegung der Anomalie verläuft. Denn wenn dies ermittelt ist, so wird es leicht sein, beliebige andere Unterschiede dieser Bewegungen zu bestimmen. Da nun, wie oben vorgetragen ist, zwischen der ersten Beobachtung des Timochares und der des Ptolemäus im zweiten Jahre des Antoninus 432 Jahre liegen, und in dieser Zeit die mittlere Bewegung 6°^[37] beträgt; die erscheinende aber 4° 20′ ^[38], der Unterschied beider 1° 40′ war, während die Bewegung der doppelten Anomalie 90° 35′ ^[39] ausmacht: so ist auch klar, dass in der Mitte dieser Zeit, wenigstens nahezu, die erscheinende Bewegung die Grenze der grössten Langsamkeit erreicht hatte, in welchem Punkte die erscheinende mit der mittleren Bewegung zusammentreffen, und die wahre und mittlere Nachtgleiche in demselben Durchschnittspunkte der Kreise liegen muss. Deshalb liegen auf beiden Seiten die Unterschiede der ungleichmässigen und gleichmässigen Bewegung, welche, wenn man Bewegung und Zeit halbirt, 5/6° betragen, und diese kommen auf die zu beiden Seiten liegenden, 45° 17½′ umfassenden Bogen des Kreises der Anomalie.^[40] Da es sich aber hier um sehr kleine Bogen handelt, indem diejenigen der Ekliptik nicht anderthalb Grade erreichen, bei diesen die Sehnen den Bogen nahe gleich sind, und kaum in den Tertien einige Verschiedenheit gefunden wird, so begehen wir, die wir uns bei den Minuten beruhigen, keinen Fehler, wenn wir für die Bogen grade Linien gebrauchen.

Nun sei $abc$ jener Theil der Ekliptik, in welchem die mittlere Nachtgleiche in $b$ liegt; um diese, als Pol genommen, werde der Halbkreis $adc$ beschrieben, welcher die Ekliptik in den Punkten $a$ und $c$ schneidet; vom Pole der Ekliptik her werde $db$ gezogen, welche Linie auch den beschriebenen Halbkreis in $d$ halbirt, wo die äusserste Grenze der Langsamkeit und der Anfang der Beschleunigung liegen mag. In dem Quadranten $ad$ werde $de$ gleich 45° 17½′ angenommen, und durch den Punkt $e$ vom Pole der Ekliptik her $ef$ gezogen, und es sei $fb$ = 50′. Es wird verlangt, hieraus den ganzen Unterschied $baf$ zu finden. Nun ist aber klar, dass das Doppelte von $bf$ die Sehne des doppelten Bogens von $de$ ist. Da $bf$ = 7107 sich zu $afb$ = 10000 verhält wie $bf$ = 50′ zu $afb$ = 70′: so ergiebt sich $ab$ = 1° 10′, und so gross ist der grösste Unterschied zwischen der mittleren und der erscheinenden Bewegung der Nachtgleichen, welche wir suchten, und daraus folgt, dass die grösste Ablenkung der Pole = 28′ ist.^[41]

Nachdem dies so bestimmt ist, sei $abc$ ein Bogen der Ekliptik, $dbe$ der mittlere Aequator, und $b$ der mittlere Schnittpunkt der erscheinenden Nachtgleichen, sei es des Widders oder der Wage, und durch die Pole des Bogens $dbe$ liege $bf$. Auf $abc$ aber werden zu beiden Seiten gleiche Bogen $bi$ und $bk$ zu 1° 10′^[42] genommen, so dass der ganze Bogen $ibk$ 2° 20′ beträgt. Ferner mögen zwei Bogen der erscheinenden Aequatoren $ig$ und $hk$ unter rechten Winkeln gegen $fb$ und dessen Verlängerung beschrieben werden. Ich sage aber unter rechten Winkeln, während doch die Pole der Bogen $ig$ und $hk$ öfters ausserhalb des Kreises $bf$ liegen, indem die seitliche Bewegung der Declination dazu kommt, wie dies bei der Hypothese^[43] gezeigt ist: aber wegen des sehr mässigen Abstandes, welcher, wenn er am grössten wird, nicht den 350sten^[44] Theil eines Rechten überschreitet, so nehmen wir jene für die Anschauung als rechte Winkel, denn es wird dadurch kein Fehler zum Vorschein kommen. Da also in dem Dreiecke $ibg$ der Winkel $ibg$ zu 66° 20′ gegeben ist, weil die Ergänzung zum Rechten, $dba$ 23° 40′ der Winkel der mittleren Schiefe der Ekliptik ist, und Winkel $bgi$ ein Rechter. Winkel $big$ fast gleich $ibd$ und Seite $ib$ 70′^[45] ist: so ist also auch der Bogen $bg$, um welchen die Pole des mittleren und des erscheinenden Aequators von einander abstehen zu 28′^[46] gegeben. Ebenso sind in dem Dreiecke $bhk$ die beiden Winkel $bhk$ und $hbk$, den beiden $igb$ und $ibg$ gleich, die Seite $bk$ gleich der Seite $bi$; folglich wird auch $bh$ gleich $bg$ gleich 28′^[47] sein. Denn es wird sich $gb$ zu $bh$ verhalten, wie $ib$ zu $bk$, und die Bewegungen sowohl der Pole als auch der Schnittpunkte werden ähnlich sein.

Capitel 8.

Ueber die einzelnen Unterschiede dieser Bewegungen nebst Erklärung ihres Verzeichnisses.

Wenn also $ab$ = 70′ (in der ersten Figur des vorhergehenden Capitels) gegeben ist, welcher Bogen in seiner Länge von seiner Sehne nicht unterschieden zu sein scheint: so ist es nicht schwer, beliebige andere einzelne Unterschiede für die mittleren und erscheinenden Bewegungen zu ermitteln, welche die Griechen Prosthaphäresen (Vorwegnahmen), die Neueren: Gleichungen nennen, durch deren Wegnahme oder Hinzufügung die Erscheinungen berechnet werden. Wir werden uns des griechischen Wortes als des geeigneteren bedienen. Wenn nun $ed$ 3° betrüge: so erhielten wir aus dem Verhältnisse von $ab$ zu der Sehne $bf$, die Prostaphärese $bf$ = 4′^[48]. Wenn der Bogen $ed$ 6° ist, 7′^[49], wenn 9°, 11′^[50] und so weiter. Bei der Aenderung der Schiefe glauben wir in ähnlicher Weise verfahren zu müssen, wo der Unterschied zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, wie gesagt^[51], gleich 24′ gefunden ist, welche unter dem Halbkreise der einfachen Anomalie in 1717 Jahren zurückgelegt werden. Der mittlere Werth unter dem Quadranten des Kreises beträgt 12′, und der Pol des kleinen Kreises dieser Anomalie gehört der mittleren Schiefe von 23° 40′ an. Und in dieser Weise werden wir, wie gesagt, die übrigen Theile des Unterschiedes, den vorhin angegebenen ungefähr proportional ableiten, wie dies in dem nachfolgenden Verzeichnisse enthalten ist. Obgleich nun die erscheinenden Bewegungen in verschiedenen Weisen nach diesen Ableitungen zusammengesetzt werden können: so gefiel uns doch diejenige Art am meisten, nach welcher jede einzelne Prosthaphärese für sich erhalten wird, wodurch die Berechnung dieser Bewegungen für das Verständniss leichter wird, und mit den dargelegten Entwickelungen mehr übereinstimmt. Wir haben daher eine Tafel von 60 Zeilen angefertigt, welche nach je 3 Graden des Kreises fortschreitet. So wird sie nämlich weder eine ausgedehnte Weitläufigkeit noch eine zu gedrängte Kürze zu haben scheinen; wie wir denn so in den spätern ähnlichen Tafeln auch verfahren wollen. Die gegenwärtige hat nur vier Rubriken, von denen die beiden ersten die Grade jedes der beiden Halbkreise enthalten, die wir die gemeinschaftlichen Zahlen nennen, weil durch die einfache Zahl die Schiefe der Ekliptik erhalten wird, und die verdoppelte zur Prosthaphärese der Nachtgleichen dient, deren Anfang vom Beginne des Wachsthumes genommen ist. In der dritten Rubrik sind die Prosthaphäresen der Nachtgleichen aufgestellt, welche den einzelnen Dreigradigkeiten entsprechen, und zu der mittleren Bewegung, die wir von dem ersten Sterne des Widderkopfes gegen den Frühlingsnachtgleichenpunkt hin anfangen, entweder zu addiren oder davon abzuziehen sind. Die abzuziehenden Prosthaphäresen entsprechen dem kleinen Halbkreise der Anomalie,^[52] oder der ersten Rubrik, die zuzufügenden der zweiten Rubrik, und dem folgenden Halbkreise. In der letzten Rubrik endlich stehen die Minuten, welche die Proportional-Minuten der Schiefe genannt sind, und höchstens auf 60 steigen, indem wir anstatt der grössten und kleinsten Abweichung der Schiefe von 24′, 60′ setzen, woraus wir nach Verhältniss der übrigen Abweichungen die Theile des ähnlichen Verhältnisses berechnen, und deshalb zu Anfang und zu Ende der Anomalie 60 setzen. Wo aber die Abweichung auf 22′ steigt, wie bei der Anomalie von 33°, setzen wir an ihre Stelle 55^[53], ebenso für 20′, 50 wie bei der Anomalie von 48°^[54] und nach dieser Weise weiter, wie dies im nachfolgenden Schema ersichtlich ist.

TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DES AEQUATORS UND DER SCHIEFE DER EKLIPTIK.

Gemeinschaftliche Zahlen		Prosthaphäresen des Aequators		Proportional-Minuten der Schiefe	Wie sich 5 zu 2 verhält, so verhalten sich die Proportional- Minuten zu dem Wachsthume der Schiefe über 23° 28′ hinaus[55]	Gemeinschaftliche Zahlen		Prosthaphäresen des Aequators		Proportional-Minuten der Schiefe
Grad	Grad	Grad	Min.			Grad	Grad	Grad	Min.
003	357	0	04	60		093	267	1	10	28
006	354	0	07	60		096	264	1	10	27
009	351	0	11	60		099	261	1	09	25
0
012	348	0	14	59		102	258	1	09	24
015	345	0	18	59		105	255	1	08	22
018	342	0	21	59		108	252	1	07	21
0
021	339	0	25	58		111	249	1	05	19
024	336	0	28	57		114	246	1	04	18
027	333	0	32	56		117	243	1	02	16
0
030	330	0	35	56		120	240	1	01	15
033	327	0	38	55		123	237	0	59	14
036	324	0	41	54		126	234	0	56	12
0
039	321	0	44	53		129	231	0	54	11
042	318	0	47	52		132	228	0	52	10
045	315	0	49	51		135	225	0	49	09
0
048	312	0	52	50		138	222	0	47	08
051	309	0	54	49		141	219	0	44	07
054	306	0	56	48		144	216	0	41	06
0
057	303	0	59	46		147	213	0	38	05
060	300	1	01	45		150	210	0	35	04
063	297	1	02	44		153	207	0	32	03
0
066	294	1	04	42		156	204	0	28	03
069	291	1	05	41		159	201	0	25	02
072	288	1	07	39		162	198	0	21	01
0
075	285	1	08	38		165	195	0	18	01
078	282	1	09	36		168	192	0	14	01
081	279	1	09	35		171	189	0	11	00
0
084	276	1	10	33		174	186	0	07	00
087	273	1	10	32		177	183	0	04	00
090	270	1	10	30		180	180	0	00	00

Capitel 9.

Ueber die Prüfung und Verbesserung dessen, was über das Vorrücken der Nachtgleichen entwickelt ist.

Da wir aber von dem Anfange des Wachsthums der ungleichmässigen Bewegung nach einer blossen Vermuthung angenommen haben, derselbe liege in der Mitte der Zeit vom 36sten Jahre der ersten Callippischen Periode bis zum zweiten des Antoninus; und wir von dieser Mitte die Bewegung der Anomalie anfangen: so haben wir noch zu untersuchen, ob wir daran recht gethan haben, und ob dies mit den Beobachtungen übereinstimmt. Kommen wir auf jene drei beobachteten Sterne des Timochares, Ptolemäus und Albategnius zurück: so ist sicher, dass der erste Zeitraum 432, und der zweite 742 ägyptische Jahre umfasst. Die gleichmässige Bewegung war im ersten Zeitraume 6° ^[56], die wirkliche 4° 20′ ^[38], die der doppelten Anomalie 90° 35′ ^[57], das von der gleichmässigen Bewegung Abzuziehende betrug 1° 40′ ^[38]. Im zweiten Zeitraume betrug die gleichmässige Bewegung 10° 21′ ^[58], die wirkliche 11° 30′ ^[59], die der doppelten Anomalie 155° 34′, das zu der gleichmässigen Bewegung Hinzuzufügende 1° 9′ ^[60].

Es sei nun, wie früher, $abc$ ein Bogen der Ekliptik, und von $b$, welches der mittlere Frühlingsnachtgleichenpunkt sein soll, als Pol genommen, werde mit dem Radius $ab$ = 1° 10′ ^[61] der kleine Kreis $adce$ beschrieben. Die gleichmässige Bewegung aber des Punktes $b$ werde nach der Seite $a$, d. h. rückwärts genommen, und $a$ sei die westliche Grenze, an welcher die veränderliche Nachtgleiche am weitesten vorausgeeilt, und $c$ die östliche, an welcher die veränderliche Nachtgleiche am meisten zurückgeblieben ist. Von dem Pole der Ekliptik werde durch den Punkt $b$ der grösste Kreis $dbe$ gezogen, welcher mit der Ekliptik zusammen den kleinen Kreis $adce$ in vier gleiche Theile theilt, weil sie sich wegen der Pole gegenseitig unter rechten Winkeln schneiden. Wenn nun die Bewegung in dem Halbkreise $adc$ zurückbleibt, und in dem andern $cea$ voreilt, so wird, wegen des Gegensatzes gegen das Vorrücken von $b$, in $d$ die Mitte der grössten Langsamkeit der erscheinenden Nachtgleiche sein, in $e$ aber die grösste Geschwindigkeit, weil die Bewegungen sich gegenseitig nach derselben Seite hin beschleunigen. Vor und hinter $d$ mögen nun die Bogen $fd$ und $dg$, je zu 45° 17½′ genommen werden, $f$ sei der erste Punkt der Anomalie zur Zeit des Timochares, $g$ der zweite zur Zeit des Ptolemäus, und $p$ der dritte zur Zeit des Albategnius, und durch diese Punkte so wie durch die Pole der Ekliptik werden $fn$, $gm$ und $op$ gezogen, welche alle in dem kleinen Kreise graden Linien sehr ähnlich sind. Der Bogen $fdg$ wird also 90° 35′ betragen, wenn auf den Kreis $adce$ 360° kommen, und dieser Bogen wird die mittlere Bewegung um $mn$ = 1° 40′ verkleinern,

während $abc$ = 2° 20′ beträgt. Der Bogen $gep$ beträgt aber 155° 34′, und beschleunigt um $mo$ = 1° 9′, und der Rest $paf$ = 113° 51′ beschleunigt um $on$ = 31′, wenn $ab$ = 70′. Da aber der ganze Bogen $dgcep$ = 200° 51½′ ist, so ist auch $ep$ = 20° 51½′ als Ueberschuss über den Halbkreis, folglich ist auch $bo$, als Sehne im Kreise, nach dem Verzeichnisse 356, wenn $ab$ = 1000; ist also $ab$ = 70′ so ist $bo$ nahe = 24′ und $bm$ = 50′. Also die ganze Linie $mbo$ ist 74′ und der Rest $no$ = 26′. Im Vorhergehenden war aber $mbo$ =1° 9′ und der Rest $no$ = 31′; es fehlen hier 5′, welche dort zu viel sind. Es ist also der Kreis $adce$ zurückzudrehen, bis die Ausgleichung auf beiden Seiten stattfindet. Dies wird aber geschehen sein, wenn wir den Bogen $dy$ = 42½° nehmen, so dass auf den Rest $df$ 48° 5′ kommen. Hierdurch scheinen beide Fehler beseitigt und allem Uebrigen entsprochen. Es wird nämlich, wenn man $d$, als die äusserste Grenze der Langsamkeit, zum Anfangspunkte nimmt, die Bewegung der Anomalie in der ersten Periode den ganzen Bogen $dgcepaf$ = 311° 55′ betragen, in der zweiten $dg$ = 42° 30′, in der dritten $dgcep$ 198° 4′. Und wenn $ab$ zu 70 Minuten genommen wird: so ist in der ersten Periode $bn$ die zu addirende Prosthaphärese nach den vorangegangenen Entwickelungen = 52′, in der zweiten $mb$ = 47½′ zu subtrahiren, in der dritten wieder zu addiren $bo$ fast 21′. Der ganze Bogen $mn$ umfasst also im ersten Intervall 1° 40′, der ganze $mbo$ im zweiten Intervall 1° 9′, was hinreichend genau mit den Beobachtungen übereinstimmt. Hieraus ergiebt sich zugleich die einfache Anomalie in der ersten Periode zu 155° 57′ 30″, in der zweiten Periode zu 21° 15′ und in der dritten Periode zu 99° 2′, was zu erklären war. ^[62]

Capitel 10.

Welcher der grösste Unterschied zwischen den Neigungswinkeln des Aequators und der Ekliptik sei.

Auf ähnliche Weise wollen wir das, was über die Veränderung der Schiefe der Ekliptik und des Aequators auseinandergesetzt ist, prüfen, und werden sehen, dass es sich richtig so verhalte. Wir haben nämlich im zweiten Jahre des Antoninus beim Ptolemäus die geprüfte einfache Anomalie zu 21¼° erhalten, und dabei war die grösste Schiefe 23° 51′ 20″. Von da an bis auf unsere Beobachtung sind es ungefähr 1387 Jahre, in welchen

der Ort der einfachen Anomalie sich berechnet zu 145° 24′ ^[63] und zu dieser Zeit findet sich die Schiefe zu 23° 28′ und fast 2/5′ ^[64]. Hierzu nehmen wir wieder den Bogen $abc$ der Ekliptik, oder für denselben wegen seiner Kleinheit eine Gerade, und über derselben den Halbkreis der einfachen Anomalie

um den Pol $b$, wie früher. Nun sei $a$ die Grenze der grössten Neigung, $c$ die der kleinsten, deren Unterschied wir untersuchen wollen. Der Bogen $ae$ des kleinen Kreises, werde gleich 21° 15′ genommen, und der Rest des Quadranten $ed$ wird 68° 45′ sein. Der ganze Bogen $edf$ ist nach der Berechnung 145° 24′^[63] und der Rest $df$ = 76° 39′ ^[65]. Auf den Durchmesser $abc$ werden $eg$ und $fk$ senkrecht gefällt. Die Bogen $gk$ des grössten Kreises ist aus dem Unterschiede der Schiefen von Ptolemäus bis auf uns als 22′ 56″ bekannt. Nun ist die einer Graden ähnliche Linie $qb$ die Hälfte der Sehne des Doppelten $ed$, oder gleich 932 Theilen, von denen $ac$ als Durchmesser 2000 enthält, und von diesen Theilen enthält auch $kb$, als die Hälfte der Sehne des Doppelten $df$ 973. Hieraus ergiebt sich die ganze $gk$ = 1905 Theilen, von denen $ac$ 2000 enthält. Da aber $gk$ 22′ 56″ enthält: so enthält $ac$ nahe 24′ ^[66], als die Differenz zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, welche wir gesucht haben. Hieraus geht hervor, dass die grösste Schiefe stattgefunden hat zwischen Timocharis und Ptolemäus zu vollen 23° 52′ ^[67], und dass sie sich jetzt der kleinsten, zu 23° 28′ ^[68], nähert. Und hiernach wird Alles, was die dazwischen liegenden Neigungen dieser Kreise betrifft, auf dieselbe Weise, welche wir bei der Präcession entwickelt haben, gefunden.

Capitel 11.

Ueber die Feststellung der Orte für die gleichmässigen Bewegungen der Nachtgleichen und der Anomalie.

Nachdem dies Alles so erledigt ist, bleibt noch übrig, dass wir die Orte der Bewegungen der Frühlingsnachtgleiche selbst feststellen, welche von Einigen Wurzeln genannt werden, von denen für eine jede beliebig gegebene Zeit die Rechnungen abgeleitet werden. Als äussersten Zeitpunkt stellte hierbei Ptolemäus den Anfang der Regierung Nabonassar’s, Königs der Chaldäer, fest, welchen die Meisten, getäuscht durch die Aehnlichkeit des Namens, für Nabuchodonassar gehalten haben, den aber die Zeitrechnung des Ptolemäus viel früher setzt, und dessen Zeit bei den Geschichtsschreibern mit derjenigen Salmanassars, des Königs der Chaldäer, zusammenfällt. Indem wir aber bekanntere Zeiten verfolgen, haben wir es für genügend befunden, wenn wir von der ersten Olympiade anfingen, über welche sich ergiebt, dass sie um 28 Jahre dem Nabonassar vorausgegangen ist, wobei die Sommersonnenwende den Anfang bildete, zu welcher Zeit den Griechen der Sirius (heliakisch) aufging und die olympischen Spiele gefeiert wurden, wie Censorinus und andere anerkannte Autoren angegeben haben. Nach genauerer Zeitrechnung, welche bei den Berechnungen der Himmelsbewegungen nothwendig ist, sind es von der ersten Olympiade, oder vom Mittage des ersten Tages des Monats Hekatombäon der Griechen, bis Nabonassar, oder bis zum Mittage des ersten Tages des Monats Thoth der Aegypter, 27 Jahre und 247 Tage^[69]. Von da bis zu Alexanders Tode 424 ägyptische Jahre, vom Tode Alexanders aber bis zum Anfange der Jahre des Julius Cäsar 278 Jahre 118½ Tage um die Mitternacht des ersten Januars, wohin Julius Cäsar den Anfang des von ihm eingeführten Jahres setzte, wozu er dasjenige Jahr wählte, in welchem er als Pontifex Maximus zum dritten Male und M. Aemilius Lepidus Consul waren. Von diesem so von Julius Cäsar bestimmten Jahre sind die folgenden, Julianische genannt, und zwar rechnen die Römer vom vierten Consulate Cäsar’s, bis auf Octavianus Augustus 18 Jahre, ebenfalls den 1sten Januar, obgleich am 17. Januar Augustus, der Sohn des Julius Cäsar Divus, nach dem Vorschlage des Munatius^[70] Plancus vom Senate und den übrigen Bürgern zum Kaiser ernannt worden war, als er selbst zum siebenten Male und M. Vipsanius Consuln waren. Aber die Aegypter, welche zwei Jahre früher in die Gewalt der Römer kamen, nach dem Tode des Antoninus und der Cleopatra, haben 15 Jahre 246½ Tage am Mittage des ersten Thoth, welcher für die Römer der 30ste August war. Hiernach sind es von Augustus bis zu den Jahren Christi, welche ebenfalls mit dem Januar anfangen, nach römischer Zeitrechnung 27 Jahre, nach ägyptischer aber 29 ägyptische Jahre und 130 Tage. Von da bis zum zweiten Jahre des Antoninus, für welche Ptolemäus die von ihm beobachteten Sternörter angegeben hat, sind es 138 römische Jahre und 55 Tage, welche Jahre für die Aegypter noch 34 Tage^[71] mehr liefern. Von der ersten Olympiade bis hierher sind es zusammen 913 Jahre 101 Tage^[72]. In dieser Zeit beträgt das gleichmässige Vorrücken der Nachtgleichen 12° 44′, die einfache Anomalie 95° 44′. Nun war aber im zweiten Jahre des Antoninus, wie überliefert ist, die Frühlingsnachtgleiche dem ersten Sterne, im Kopfe des Widders, 6° 40′ voraus; und da damals die doppelte Anomalie 42½° betrug^[73]: so war die abzuziehende Differenz zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung 48′^[74]. Wenn man diese wieder zu der erscheinenden Bewegung von 6° 40′ hinzusetzt: so erhält man den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche = 7° 28′. Wenn wir hierzu die 360° eines Kreises addiren und von der Summe jene 12° 44′ abziehen: so erhalten wir für die erste Olympiade, welche bei den Atheniensern vom Mittage des ersten Hekatombäon anfing, den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche = 354° 44′, so dass dieselbe also damals dem ersten Sterne des Widders um 5° 16′ folgte. Wenn man auf gleiche Weise von 21° 15′ der einfachen Anomalie jene 95° 45′ abzieht: so bleiben für denselben Anfang der Olympiaden 285° 30′ als Ort der einfachen Anomalie. Und wenn man wiederum die Bewegungen je nach den Zeiträumen hinzufügt, und immer 360°, so oft sie überschritten werden, abzieht: so erhält man die Orte oder Wurzeln Alexanders, für die gleichmässige Bewegung 1° 2′ und für die einfache Anomalie 332° 52′. Bei Cäsar für die mittlere Bewegung 4° 55′ und für die einfache Anomalie 2° 2′. Bei Christus für den mittleren Ort 5° 32′ und für die Anomalie 6° 45′. Und so erhalten wir bei den Uebrigen für den Anfang jeder beliebigen Zeit die Wurzeln der Bewegungen.^[36]

Capitel 12.

Ueber die Berechnung der Präcession der Frühlingsnachtgleiche und der Schiefe.

Sobald man also den Ort der Frühlingsnachtgleiche erhalten will, verwandelt man, wenn die zwischen dem zum Grunde gelegten Anfange und der gegebenen Zeit liegenden Jahre ungleiche sind, wie die römischen, deren man sich gewöhnlich bedient, dieselben in gleiche oder ägyptische Jahre. Denn man wendet bei der Berechnung der gleichmässigen Bewegungen, aus dem angegebenen^[75] Grunde, keine anderen als ägyptische Jahre an. Diese Anzahl Jahre theilt man, wenn sie grösser als sechzig ist, in je sechzig, und geht mit der Anzahl dieser je sechzigen in die Tafel der Bewegungen ein; indem man die erste Rubrik der Bewegung, gleichsam als überflüssig, übergeht, und von der zweiten Rubrik, als derjenigen der Grade, anfängt und, wenn sich hier eine Zahl findet, dieselbe mit sechzig multiplicirt, und mit den andern Graden, Minuten u. s. w. zusammennimmt. Hierauf geht man mit dem Reste der Jahre zum zweiten Male in die Tafel ein, und nimmt von der ersten Rubrik an, die Grade, Minuten u. s. w. wie sie dastehen. Hierbei können Theile der Tage, ja sogar ganze Tage, wegen der Langsamkeit dieser Bewegungen, füglich vernachlässigt werden, da es sich bei der täglichen Bewegung nur um Secunden und Tertien handelt. Nachdem man dies Alles zu seiner Wurzel addirt, die betreffenden Zeichen an ihre Stellen gesetzt, und immer die sechs bei je sechzig^{[WS 3]} Graden, wenn sie sich ergeben, beseitigt hat: erhält man für die gegebene Zeit den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche, um welchen sie dem ersten Sterne des Widders vorausgeht, oder um welchen derselbe Stern, der Nachtgleiche folgt. In derselben Weise sucht man auch die Anomalie. Mit dieser einfachen Anomalie aber findet man in der Tafel der Prosthaphäresen^[76] in der letzten Rubrik die verzeichneten Proportional-Minuten, welche man sich besonders notirt. Hierauf sucht man mit der verdoppelten Anomalie, in der dritten Rubrik derselben Tafel, die Prosthaphärese in Graden und Minuten, um welche die wahre Bewegung von der mittleren unterschieden ist. Und diese Prosthaphärese zieht man ab, wenn die doppelte Anomalie kleiner als der Halbkreis ist; wenn Letztere aber grösser als der Halbkreis ist, also mehr als 180 Grade enthält: so addirt man diese Prosthaphärese zu der mittleren Bewegung, und die Summe oder Differenz ergiebt die wahre erscheinende Bewegung der Präcession der Frühlingsnachtgleiche, oder: um wie viel sich dann der erste Stern des Widders von der Frühlingsnachtgleiche entfernt hat, welcher Abstand bei der Ermittelung des Ortes irgend eines anderen Sternes, zu der im Sternverzeichnisse stehenden Länge desselben addirt wird. Weil aber das Schwerverständliche durch Beispiele anschaulicher zu werden pflegt: so sei verlangt, für April 16 im Jahre Christi 1525 den wahren Ort der Frühlingsnachtgleiche, die Schiefe der Ekliptik und den Abstand der Aehre in der Jungfrau von derselben Nachtgleiche zu finden. Es ist nun klar, dass in den 1524 römischen Jahren und 106 Tagen von dem Beginne der Jahre Christi an bis zu dieser Zeit 381 Tage eingeschaltet sind; dies ergiebt in ägyptischen Jahren 1525 Jahre 122 Tage, und das sind 25 mal sechzig und 25 Jahre, nebst 2 mal sechzig und 2 Tage. Den 25 mal sechzig Jahren entspricht aber in der Tafel der mittleren Bewegung 20° 55′ 2″, den 25 Jahren 20′ 55″, den 2 mal sechzig Tagen 16″, für die übrigen beiden Tage liegt sie in den Tertien. Dies Alles zu der Wurzel, welche 5° 32′^[77] betrug, addirt, giebt als mittlere Präcession der Frühlingsnachtgleiche 26° 48′^[78]. Ebenso beträgt die Bewegung der einfachen Anomalie für 25 mal sechzig Jahre, 2 mal sechzig Grad und 37° 15′ 3″; für 25 Jahre 2° 37′ 15″; für 2 mal sechzig Tage 2′ 4″ und für ebensoviel Tage 2″. Dies zu der Wurzel, welche 6° 45′ ^[77] betrug, addirt, giebt als einfache Anomalie 2 mal sechzig Grad und 46° 40′^[79]. Nach der Letzteren notirt man sich, behufs der Untersuchung der Schiefe, aus der Tafel der Prosthaphäresen^[76] die in der letzten Rubrik enthaltenen Proportional-Minuten, und findet da eine einzige. Hierauf findet man mitteltst der verdoppelten Anomalie, welche 5 mal sechzig Grad und 33° 20′ ^[80] beträgt, die Prosthaphärese 32′ ^[81], welche zu addiren ist, weil die Anomalie grösser als der Halbkreis ist; wird diese nun zu der mittleren Bewegung addirt: so kommt als wahre und erscheinende Präcession der Frühlingsnachtgleiche heraus 27° 21′^[82]. Wenn man endlich hierzu 170° addirt, um welche die Aehre der Jungfrau vom ersten Sterne des Widders absteht: so erhält man ihren Abstand von der Frühlingsnachtgleiche ^[83], und in Folge davon 17° 21′ von der Wage, wo sie ungefähr zur Zeit unserer Beobachtung ^[84] stand.

Die Schiefe der Ekliptik aber und die Declinationen werden so berechnet, dass für den Fall, wo die Proportional-Minuten 60 betragen, die in dem Verzeichnisse der Declinationen^[85] beigesetzten Ueberschüsse, nämlich die Differenzen zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, ihrem ganzen Werthe nach, zu den Declinationen addirt werden. Hier aber fügt die Einheit jener Proportional-Minuten nur 24″^[86] der Schiefe hinzu. Deshalb bleiben die Declinationen der Theile der Ekliptik, wie sie in dem Verzeichnisse stehen, in dieser Zeit unverändert, wegen der uns schon nahen kleinsten Schiefe, während sie sich sonst merklicher ändern. Wie z. B. wenn die einfache Anomalie 90° beträgt, wie dies 880 ägyptische Jahre nach Christus der Fall war, dieser Anomalie entsprechend 25 Proportional-Minuten sich ergeben. Es verhält sich aber 60′ : 24′, der Differenz zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, wie 25′ : 10′, welche letzteren zu 28′ addirt, die wirkliche Schiefe für jene Zeit zu 23° 38′ ergeben. Wenn man dann auch die Declination für irgend einen Punkt der Ekliptik, z. B. für 3° ♉︎, welcher um 33° von der Nachtgleiche absteht, wissen will: so findet man in dem Verzeichnisse ^[85] 12° 32′, mit einer Differenz von 12′. Es verhält sich aber 60 : 25 = 12′ : 5′, welche letzteren, zu der Declination addirt, 12° 37′ für 33° der Ekliptik ergeben. In derselben Weise, wie bei den Schnittwinkeln der Ekliptik und des Aequators, kann man auch bei den Rectascensionen verfahren, nur dass man bei diesen das abziehen muss, was bei jenen immer zu addiren ist, wenn man nicht die Berechnung der sphärischen Dreiecke vorzieht, um für die gegebenen Zeiten Alles genauer zu erhalten.

Capitel 13.

Ueber die Grösse und Verschiedenheit des Sonnenjahres.

Dass aber die Präcession der Nachtgleichen und der Sonnenwenden, von welcher wir gesagt haben, dass sie von der Neigung der Erdaxe herrührt, so verläuft, wird auch die jährliche Bewegung des Mittelpunktes der Erde bestätigen, welche um die Sonne vor sich geht, und von welcher wir nunmehr zu handeln haben. Es muss nämlich aus derselben ohne Zweifel hervorgehen, dass die Grösse des Jahres, wenn sie von einer Nachtgleiche oder Sonnenwende bis zur nächsten gerechnet wird, wegen der ungleichen Aenderung dieser Punkte, ungleich ausfällt, da beide von einander abhängen. Man muss daher das bürgerliche (temporalis) Jahr von dem Sternjahre (sidereus) trennen und unterscheiden. Wir nennen nämlich das Jahr das natürliche oder bürgerliche, welches uns die vier Jahreszeiten bestimmt; das Sternjahr aber dasjenige, welches auf irgend einen Fixstern zurückführt. Dass nun das natürliche Jahr, welches man auch das tropische (vertens) nennt, ungleich ist, beweisen die Beobachtungen der Alten vielfach. Denn Callippus, Aristarch von Samos und Archimedes von Syracus bestimmen, dass dasselbe ausser 365 ganzen Tagen noch einen Vierteltag enthalte; indem sie, nach der Sitte der Athenienser, den Anfang des Jahres von der Sonnenwende rechnen. Cl. Ptolemäus aber, welcher bemerkte, dass die Feststellung der Sonnenwenden schwierig und zweifelhaft sei, traute den Beobachtungen jener nicht ganz, und stützte sich lieber auf den Hipparch, welcher nicht sowohl die Sonnenwenden, als vielmehr die Nachtgleichen in Rhodos aufgezeichnet und bemerkt hatte, dass an dem vierten Theile des Tages etwas fehle. Dieses Fehlende bestimmte Ptolemäus später auf 1/300 Tag durch folgende Methode. Er legte die von Jenem zu Alexandria im Jahre 177^[87] nach dem Tode Alexanders des Grossen, nach ägyptischer Zeitrechnung am dritten Schalttage um Mitternacht, auf welche der vierte Schalttag folgte, sehr genau beobachtete Herbstnachtgleiche zu Grunde. Hiermit verband Ptolemäus eine von ihm selbst zu Alexandria im 3ten Jahre des Antoninus, welches das 463ste nach Alexander’s Tode war, am 9ten Tage des 3ten ägyptischen Monats Athyr, ungefähr eine Stunde nach Sonnenaufgang, angestellte Beobachtung derselben Nachtgleiche. Zwischen dieser Beobachtung und derjenigen des Hipparch lagen 285 ägyptische Jahre 70 Tage 71/5 Stunden, während es 71 Tage 6 Stunden hätten sein müssen, wenn das tropische Jahr ausser den ganzen Tagen noch ¼ Tag enthielte. Es war also in 285 Jahren ein Tag weniger 1/20 Tag verloren gegangen. ^[88] Daraus folgt, dass in 300 Jahren ein ganzer Tag verloren geht. Ebenso führte er auch die Ableitung von der Frühlingsnachtgleiche aus. Er gedenkt nämlich einer Notiz des Hipparch vom Jahre 178 Alexander’s den 27sten Mechir, des sechsten ägyptischen Monats, beim Aufgange der Sonne. Er selbst findet dieselbe im Jahre 463 am 7ten Pachon, des neunten ägyptischen Monats, 1 Uhr Mittags und etwas darüber; also dass in 285 Jahren ebenfalls 1 Tag weniger 1/20 Tag fehle. ^[89] Auf Grund dieser Thatsachen bestimmte Ptolemäus das tropische Jahr zu 365^d 14 sechzigstel und 48 dreitausendsechshundertstel^[90]. Hierauf hat Albategnius^[91] in Rakka^[92] in Syrien mit nicht geringerer Sorgfalt im Jahre 1206 nach dem Tode Alexanders die Herbstnachtgleiche beobachtet und gefunden, dass dieselbe in der auf den 7ten Pachon folgenden Nacht 72/5 Uhr, d. i. 43/5 Stunden vor Anbruch des 8ten Tages stattgefunden hat. Um diese seine Beobachtung mit derjenigen des Ptolemäus im 3ten Jahre des Antoninus, eine Stunde nach Sonnenaufgang zu Alexandria, welche Stadt 10° westlich von Rakka liegt^[93], angestellten zu vergleichen; reducirte er die letztere auf seinen Meridian von Rakka, für welchen dieselbe 1⅔ Stunden nach Sonnenaufgang stattgefunden haben musste. Folglich waren in einem Zeitraume von 743 ägyptischen Jahren 178 Tage und 173/5 Stunden überschüssig^[94]; während die Vierteltage sich zu 185¾ Tagen ansammeln. Da also 7 Tage und 2/5 Stunden fehlen: so scheint an dem ¼ noch 1/106 zu fehlen^[95]. Er dividirte also die 7 Tage und 2/5 Stunden mit der Anzahl der Jahre 743, erhielt 13^m und 36^s und zog diese von ¼ Tag ab. Danach gab er an, dass das natürliche Jahr 365^d 5^h 46^m 24^s enthalte^[94]. Auch wir haben die Herbstnachtgleiche in Frauenburg beobachtet, und zwar im Jahre 1515 nach Christi Geburt am 14. September, das war nach Alexanders Tode im 1840sten ägyptischen Jahre am 6ten Phaophi, eine halbe Stunde nach Sonnenaufgang ^[96]. Weil aber Rakka ungefähr 25°^[97] östlich von unserer Gegend liegt, was 2^h weniger ⅓^h ausmacht: so lagen zwischen unserer und des Albategnius Nachtgleiche 633 ägyptische Jahre und 153^d 6¾^h anstatt 158^d 6^{h [98]}. Von jener alexandrinischen Beobachtung des Ptolemäus aber bis auf den Ort und die Zeit unserer Beobachtung sind es 1376 ägyptische Jahre 332^d und ½^h, denn wir stehen von Alexandria ungefähr eine Stunde^[99] ab. Es fielen also seit Albategnius bis auf uns, in 633 Jahren, 5 Tage weniger 1¼ Stunde weg, also in 128 Jahren ein Tag; von Ptolemäus aber, in 1376 Jahren, ungefähr 12 Tage, also in 115 Jahren ein Tag; das Jahr hat sich also in beiden Zeiträumen ungleich ergeben. Wir haben auch die Frühlingsnachtgleiche beobachtet, welche im folgenden Jahre 1516 nach Christi Geburt 4⅓ Stunden nach Mitternacht auf den 11ten März eintrat, und es beträgt der Zeitunterschied von jener Frühlingsnachtgleiche des Ptolemäus, wenn man dieselbe vom Meridiane Alexandria’s auf den unsrigen reducirt. 1376 ägyptische Jahre 332^d 16⅓^h, wobei sich zugleich ergiebt, dass auch die Abstände der Frühlings- und Herbst-Nachtgleichen ungleich sind. Es ist aber gar viel daran gelegen, dass das auf diese Weise erhaltene Sonnenjahr sich gleich bleibe. Dass bei den Herbstnachtgleichen zwischen Ptolemäus und uns, wie nachgewiesen, nach einer gleichmässigen Eintheilung in Jahre 1/115 an ¼ Tage fehlt, stimmt mit der von Albategnius in Rakka beobachteten Nachtgleiche um ½ Tag nicht. Auch stimmt der Unterschied von Albategnius und uns, nach welchem 1/128 an ¼ Tag fehlen muss, nicht mit dem Ptolemäus, sondern die Berechnung ergiebt gegen die Beobachtung der Nachtgleiche Jenes mehr als einen ganzen Tag zu viel, gegen diejenige des Hipparch sogar mehr als zwei Tage zu viel. Wenn man ebenso den Abstand von Ptolemäus bis Albategnius zum Grunde legt: so überschreitet die berechnete die von Hipparch beobachtete Nachtgleiche um zwei Tage. Deshalb entnimmt man richtiger die Gleichheit des Sonnenjahres den Fixsternen, was Thebites, der Sohn Chora’s,^[100] zuerst entdeckt und dessen Grösse zu 365^d + 15/60 + 23/3600 oder 6^h 9^m 12^s festgestellt hat; indem er wahrscheinlich zunächst davon ausging, dass bei einem langsameren Zurückgehen der Nachtgleichen und Sonnenwenden das Jahr länger erscheint, als bei einem geschwinderen, und zwar dies in einem bestimmten Verhältnisse; was nur dann stattfinden konnte, wenn die Gleichheit in Beziehung auf die Fixsternsphäre bestand. Man hat daher in dieser Beziehung den Ptolemäus nicht zu beachten, welcher widersinnig und ungehörig glaubte, die jährliche Gleichheit der Sonne werde durch ihre Rückkehr zu irgend einem der Fixsterne gemessen, und stimme nicht besser, als wenn man dieselbe auf den Jupiter oder Saturn bezöge. Hieraus ergiebt sich nun auch die Ursache, warum vor Ptolemäus das bürgerliche Jahr länger war, weil es nach ihm durch die vergrösserte Präcession kürzer geworden ist. Es kann zwar auch beim Sternzeichen-(asteroterida) oder siderischen Jahre ein Fehler eintreten, jedoch nur ein geringer und viel kleinerer als derjenige, den wir bereits nachgewiesen haben. Und zwar dies deshalb, weil die erscheinende Bewegung des Mittelpunktes der Erde um die Sonne durch eine andere doppelte Verschiedenheit ungleich ist. Von diesen Verschiedenheiten hat die erste und einfache eine jährliche Periode, die andere, welche in dem Verändern der ersten besteht, wird nicht sogleich, sondern erst nach einem grossen Zeitraume wahrgenommen. Deshalb ist die Berechnung der jährlichen Gleichheit weder einfach noch leicht einzusehen. Denn wenn man dieselbe einfach nach dem bekannten bestimmten Abstande von einem beliebigen Fixsterne entnehmen wollte, — was mit Hülfe des Astrolabiums und des Mondes geschehen kann, wie wir das beim Basiliskus des Löwen (Buch II Cap. 14) entwickelt haben, – so würde man einen Fehler nicht ganz vermeiden, ausser wenn grade dann die Sonne, wegen der Bewegung der Erde, entweder keine Prosthaphärese, oder zufällig eine gleichnamige und gleiche für beide Zeitpunkte hätte. Wenn dies nicht zutrifft, und ein Unterschied in der Ungleichheit derselben stattfindet, so wird sich in gleichen Zeiten schlechterdings kein gleicher Umlauf ergeben. Wenn aber für beide Zeitpunkte die ganze abgeleitete Ungleichheit in der Rechnung berücksichtigt wird, so wird das Resultat genau werden. Die Bestimmung der Ungleichheit selbst verlangt eine vorläufige Kenntniss der mittleren Bewegung, welche wir deshalb aufsuchen wollen. Um aber endlich zu der Lösung dieses Knotens zu kommen, haben wir überhaupt vier Ursachen der erscheinenden Ungleichheit gefunden. Die erste ist die Ungleichheit des Vorrückens der Nachtgleichen, welche wir entwickelt haben. Die zweite ist diejenige, wonach die Sonne in gleichen Zeiten ungleiche Bogen der Ekliptik zu durchlaufen scheint, und diese hat fast eine jährliche Periode. Die dritte, welche auch diese verändert, und welche wir die zweite Ungleichheit nennen werden. Die vierte endlich, welche die Sonnennähe und Sonnenferne des Mittelpunktes der Erde ändert, wie weiter unten deutlich werden wird. Von allen diesen war nur die zweite dem Ptolemäus bekannt, welche allein nicht die jährliche Ungleichheit hervorbringen konnte, sondern dieselbe vielmehr in Verbindung mit den übrigen verursacht. Um aber den Unterschied zwischen dem gleichen und dem erscheinenden Sonnenjahre zu zeigen, ist keine ganz genaue Berechnung des Jahres nothwendig, sondern es genügt, wenn wir als Grösse des Jahres 365¼ Tage in Rechnung bringen, in welcher Zeit die Bewegung der ersten Ungleichheit vollendet wird, da ja das, was beim ganzen Kreise so wenig beträgt, auf eine kleinere Grösse bezogen, völlig verschwindet. Aber behufs einer besseren und leichteren Anordnung des Vortrages wollen wir die gleichen Bewegungen des jährlichen Umlaufes des Mittelpunktes der Erde hier voranschicken, denen wir dann die Unterschiede der gleichen und der erscheinenden Bewegung in ihrer erforderlichen Darlegung hinzufügen.

Capitel 14.

Ueber die gleichmässigen, mittleren Bewegungen bei dem Kreislaufe des Mittelpunkts der Erde.

Wir haben gefunden, dass die Grösse des gleichmässigen Jahres nur um 1^II und 10^III grösser ist, als Thebit Ben Chora sie angegeben hat; so dass es 365^d 15^I 24^II 10^III oder 6^h 9^m 40^{s [101]} enthält, und dass die zuverlässige Gleichmässigkeit desselben aus der Fixsternsphäre sich ergiebt. Wenn wir daher 360° eines Kreises mit 365^d multipliciren, und das Product durch 365^d 15^I 24^II 10^III dividiren: so erhalten wir die Bewegung in einem ägyptischen Jahre als 5 × 60° + 59° 44′ 49″ 7‴ 4⁗ ^[102]. Und die Bewegung von 60 solchen Jahren mit Weglassung der ganzen Kreise als 50 × 60° + 44° 49′ 7″ 4‴^[103]. Dividiren wir wiederum die jährliche Bewegung durch 365^d: so erhalten wir die tägliche Bewegung als 59′ 8″ 11‴ 22⁗. Wenn wir hierzu die mittlere gleichmässige Präcession der Nachtgleichen addiren^[104]: so erhalten wir die gleichmässige jährliche Bewegung in den bürgerlichen (temporariis) Jahren zu 5 × 60° + 59° 45′ 39″ 19‴ 9⁗ ^[105] und die tägliche zu 59′ 8″ 19‴ 37⁗ ^[106]. In dieser Beziehung können wir jene Bewegung der Sonne, um einen gewöhnlichen Ausdruck zu gebrauchen, die einfache gleichmässige, diese aber die zusammengesetzte gleichmässige nennen. Wir werden dieselben in der Weise in Tafeln bringen, wie wir es bei der Präcession der Nachtgleichen gethan haben. Diesen fügen wir die gleichmässige Bewegung der Anomalie der Sonne hinzu, über welche später.

Anmerkungen [des Übersetzers]

1. ⁷⁴) Buch I. Cap. II.
2. ⁷⁵) Der Anfang des ersten Hekatombäon des ersten Jahres der ersten 76jährigen Periode des Callippus fiel auf den Abend des 28sten Juni des Jahres 330 v. Chr., oder des Jahres 4384 der julianischen Periode, oder auf den Anfang des dritten Jahres der 112ten Olympiade. Die Epoche des Todes Alexanders ist für die ägyptische Zeitrechnung der alexandriner Mittag des 12ten November des Jahres 324 v. Chr., d. h. der 1ste Thoth des 425sten Jahres nach Nabonassar. — Vergl. Jdelers Untersuchungen über die astr. Beob. der Alten pag. 49. Also ist das oben im Texte bezeichnete Jahr das 294ste v. Chr. Der wirkliche Tod Alexanders ist aber wahrscheinlich den 21sten April 323 v. Chr. zu Babylon erfolgt. Ptolemäus Almagest VII. 3. giebt das Datum obiger Beobachtung mit den Worten an: Timochares rursum Alexandriae observasse scribit trigesimo sexto primae secundum Callippum periodi Elaphebolionos die 15, tybi vero die 5 tertia hora incipiente - - - et est annus 454 a Nabonassaro, tybi secundum Aegyptios, die 5 sequente sexto ante mediam noctem horis tam temporalibus, quam aequalibus 4 proxime.

   Da ein ägyptisches Jahr 365 Tage enthält, so betragen 453 ägyptische Jahre	165345	Tage
   Der 1ste Tybi ist der 121ste Tag des Jahres also haben wir am 5ten Tybi	0125	„
   dies ergiebt als Summe	165470	Tage.

   nach der Epoche der Aera Nabonassars; dies sind, nach julianischer Zeitrechnung, 453 julianische Jahre und 11¾ Tage. Da nun die Epoche der Aera Nabonassars der wahre Mittag zu Alexandrien also 10ⁿ 26^m Vormittags mittlerer pariser Zeit am 26. Febr. des julianischen Jahres 3967 oder 747 v. Chr. ist: so addirt man obige 453 zu 3967, und erhält 4420 als das julianische Jahr der Beobachtung, und da diese Zahl durch 4 dividirt nicht den Rest 1 giebt, so ist es kein Schaltjahr, also kommen von jenen 11¾ Tagen noch 2 Tage auf den Februar, und die übrigen 9¾ Tage auf den März. Das julianische Datum obiger Beobachtung ist also: a. j. 4420 oder a. 294 v. Chr. März 9. Der Monat Elaphebolion ist der neunte Monat des griechischen Jahres, also sind 8 Monate und 15 Tage vom Anfange des 36ten Callippischen Jahres verstrichen. Nun ist die Dauer eines Callippischen Monats 29^d 12^h 44^m 2^s.5, danach betragen 8 Monate: 236^d 5^h 52^m 20^s. Addirt man dazu die 15 Tage des 9ten Monats, so erhält man 251 Tage. Rechnet man nun nach julianischen Monatszahlen vom 9ten März 251 Tage zurück: so ergiebt sich als Anfang des 36ten Callippischen Jahres der 1te Juli, was mit Plutarchs Bemerkung, — Ideler a. a. O. pag. 226, — sehr gut übereinstimmt. Ideler, a. a. O. pag. 35 giebt die Reduction des ägyptischen Datums auf das julianische folgendermassen: „Das Jahr 454 nimmt am 5ten November 295 v. Chr. seinen Anfang. Der 5te Tybi ist der 125te Tag des ägyptischen, und der 5te November der 309te Tag des julianischen Jahres. 308+125−365=68. Das Jahr 294 v. Chr. ist ein Gemeinjahr und der 68te Tag des Gemeinjahres der 9te März. Die Beobachtung ist also am 9ten März 294 vor unsrer Zeitrechnung gemacht worden.“

3. ⁷⁶) Die hier aufgeführten Beobachtungen finden sich im Almagest VII. 3.
4. ⁷⁷) Dies würde das Jahr 282 v. Chr. nach der oberflächlichen Rechnung 330−48=82 sein. Ptolemäus giebt aber das Datum dieser Beobachtung so an: Asserit etiam, quod in 48 ejusdem periodi anno, Pyanesionos quidem desinentis die sexto, thoth autem septimo (decima hora per medium unius horae partem transacta) Spica perspiciebatur exacte borcalem partem Lunae tangere super horizontem orientis, et est annus 466 a Nabonassaro Thoth, secundum Aegyptios, septimo, sequenti octavo, ut ipse quidem scribit post mediam noctem 3.30 horis temporalibus, quae sunt aequinoctiales 4.7.30 proxime. Es sind also 465 ägyptische Jahre oder 169725 und 7 Tage des ersten Monats Thoth, also 169732 Tage seit der Epoche der Aera Nabonassar’s verstrichen; dies sind nach julianischer Rechnung 464 julianische Jahre und 256 Tage. Da nun die Epoche der Aera Nabonassars der 26te Februar 3967 ist, so erhält man durch Addition von 3967+464=4431 das julianische Jahr der Beobachtung, dies Jahr ist kein Schaltjahr, also ist der 256te Tag nach dem 26ten Februar der 9te November. Um das christlich julianische Jahr genauer, als am Anfange dieser Anmerkung zu ermitteln, haben wir 4431 von 4714 abzuziehen, und erhalten so als Datum der Beobachtung den 9ten November 283 v. Chr. Der Monat Pyanepsion ist der 5te des Jahres, 4 Callippische Monate sind 118^d 2^h 54^m 10^s nimmt man noch 6 Tage hinzu, so sind 124^d 2^h 54^m 10^s seit Anfang des 48ten Callippischen Jahres verstrichen. Rechnet man nun nach julianischen Monatstagen vom 9ten November diese 124 Tage zurück: so ergiebt sich als Anfang des 48ten Callippischen Jahres der 8te Juli.
5. ⁷⁸) a. 127 v. Chr.
6. ⁷⁹) a. 139 n. Chr.
7. ⁸⁰) a. 879 n. Chr.
8. ⁸¹) Die Stelle, an welcher Albategnius dieselbe Untersuchung, zum Theil auf dieselben älteren Beobachtungen gestützt, wie hier Copernicus, führt, findet sich in dessen schon erwähnten Werke „de motu stellarum“ in der Nürnberger Ausgabe von 1537. Capitel 51. fol. 79, und lautet so: „Stellarum fixarum qualitates in ipsarum ortu et occasu, ac in mediando coelum, nec non in earundem mora super terram, et sub terra, in ipsarum quoque remotionibus ac propinquitatibus in singulis regionibus, hoc in libro praediximus. Fixarum vero stellarum motus super duos circuli signorum, polus est inventus. Et ex quo ipsorum motus depraehensus est nullatenus ab eo discedere, earumque latitudines similiter non sunt alteratae. Itemque inter ipsas habentur longitudines invariabiliter ex quo fuerint observatae permanserunt, ideoque stellae fixae in longitudine fixae nuncupantur. Omnium enim earum motus unus est, ac idem, ac si in eodem circulo moverentur, sive naturaliter per se ipsas moveantur, sive suo motu circulus eas ita circumvolvat, ut ab occidente in orientem ex uno esse ad aliud, quemadmodum aliarum stellarum erraticarum motus ipsas transferat. Ipsarum autem loca secundum longum et latum in Ptolemaei libro anno primo regis Antonini, qui est annus 886 a rege Nabuchodonosor invenimus in una illarum observationum per quas Ptolemaeus operatus est, fuit observatio Menelai, qua usus est anno 842 a Nabuchodonosor rege, dixitque stellam septentrionalem, quae inter duos scorpionis oculos ponitur, velut per Lunam cum sphaera circulorum experimentatus est, illo anno in 2 graduum, et 22 minutorum scorpii existere, ac secundum quod ipse in libro suo scripserat, cor Leonis illo eodem anno in 2 gradibus et sexta Leonis esse, Leumia vero in 17 gradu Geminorum esse debuerat. Nos etiam bas et alias stellas persaepe continuis annis observavimus, unaque nostrarum observationum in qua plurimum confidimus, facta est anno 1191 ad Hilcarnain, Lunam quoque et stellarum transitus per coeli medium observantes, carum ab aequidiei circulo longitudinem, signorumque partes, cum quibus coelum eis mediatur, per eos transitus adinvenimus, per haec ad quas circuli signorum partes in longum et latum loca pervenerint, per hoc depraehendimus. Stellamque septentrionalem, quae inter duos scorpionis oculos circumvolvitur in 17 gradu et 20 minutorum Scorpionis, cor autem Leonis in 14 gradu Leonis invenimus, fuit autem hujus observationis annus 1627 regni Nabuchodonosor. Cumque has 11 gradus et 50 minuta, quae habentur inter primum locum et eum locum, in quo nos ipsas invenimus per 783 annos, qui sunt inter duas observationes, dividentur, earumque motus in omnibus 66 annis solaribus unius esse gradus inveniemus, et sic eos in tabulis motuum stellarum fixarum, qui per collectos et expansos annos, atque menses abstracti sunt descripsimus. Similiter etiam nos 11 gradus et dimidium ac tertiam locis, in quibus eos in Ptolemaei libro scriptos invenimus addidimus, eorumque loca anno 1191 ad Hilcarnain scripsimus. In plurimis vero stellis, quas attentius observavimus, nullam in latitudine notabilem diversitatem invenimus. Ideoque tabulas constituimus, in quibus earum in longum et latum, nec non in parte et quantitate loca posuimus, ut earundem ad quae post hunc annum loca pervenerint per suos motus, qui ex tabulis abstrahuntur cum ipsarum locis in anno 1191 superadditi fuerint, veraciter depraehendantur.“ In dem Kanon der Assyrischen und Medischen Regenten, wie denselben Jdeler im Handbuche der Chronologie I. p. 111 nach Halma giebt, wird der in den obigen Worten des Albategnius Nabuchodonosor genannte Regent, Nabocolassar geschrieben, und dazu bemerkt, dass dies der babylonische König ist, der in den hebräischen Geschichtsbüchern Nebucadnezar, bei den LXX und beim Josephus Nabuchodonosor heisst. Eine Bestätigung dieser Identität liefert auch das Datum der Beobachtung des Ptolemäus, welche in das 2te Jahr des Antoninus fällt, und sowohl in den obigen Worten des Albategnius, als auch im Texte des Copernicanischen Werkes Erwähnung findet. Dies Jahr ist das 462te nach Alexanders Tode, wie auch Copernicus richtig schreibt. Alexanders Tod fällt aber 424 Jahre nach Nabonassar, — vergl. Anm. ⁷⁵), — also ist das 2te Jahr des Antoninus das 462+424=886ste Jahr nach Nabonassar, und damit in Uebereinstimmung schreibt Albategnius „annus 886 a rege Nabuchodonosor.“ Albategnius giebt seine eigene Beobachtung als „facta anno 1191 ad Hilcarnain“ an. Unter diesem „ad Hilcarnain“ wird die Philippische oder Seleucidische Aera verstanden, welche 12 Jahre nach Alexanders Tode beginnt. — Vergl. Albategnius Cap. XXX. fol. 36. a, und Jdeler, astr. Beob. d. A. p. 258. — Daher sagt auch Albateginus z. B. Cap. XXVII. fol. 27. a., dass er im Jahre 1206 nach Alexanders Tode, oder 1194 ex annis Adhilcarnain am 19 Elul oder am 3ten Pachon das Herbstäquinoctium beobachtet hat. Elul = Eilul ist der zwölfte syrische Monat, während das syrische Jahr mit dem auf den 1ten October fallenden Tesrin I begann, also ist der 19 Elul = 19 September. Im Jahre 1206 nach Alexanders Tode d. h. 1627 nach Nabonassar fiel der 1te Thoth auf den 17ten Januar, danach war der 3te Pachon ebenfalls = 19 September. Die beiden Datum-Angaben sind also in der That identisch. Die Differenz der Jahreszahlen 1206—1194 beträgt aber richtig 12. In Bezug auf die beiden Beobachtungen von α der Jungfrau und β des Scorpions durch Menelaus ist die in dem Texte des Werkes von Albategnius enthaltene Jahreszahl „842 a Nabuchodonosor“ offenbar durch einen Druckfehler unrichtig geworden. Das erste Jahr Trajan’s ist das 845te Nabonassar’s, im Ptolemäus: Alm. VII. 3 und damit übereinstimmend auch Ideler a. a. O. p. 35. richtig reducirt haben.
9. ⁸²) 1461 ägyptische Jahre sind 1460 julianische, also 1849 ägyptische =1847,73 julianischen.
10. ⁸³) Elias Olai Morsianus, welcher im Auftrage Tycho’s die Polhöhe zu Frauenburg untersuchte, fand 54° 22′ 30″, — vergl. A. G. Kästner: Gesch. d. Math. II. p. 391. — Gegenwärtig wird dieselbe zu 54° 21′ 34″ angegeben, — vergl. Gehler’s Lexicon X. 3. Verz. p. 145, —
11. ⁸⁴) Nach des Copernicus eigener Angabe der Polhöhe von Frauenburg berechnet sich diese Declination zu 8° 40′ 30″, nach der Polhöhe 54° 21′ 34″ ergiebt sich aber 8° 38′ 26″.
12. ⁸⁵) Die Zeit der Beobachtung Aristarch’s setzt Jdeler in „Ueber das Verhältniss des Copernicus zum Alterthum 1810. pag. 31.“ in das Jahr 280 v. Chr., und zwar gestützt auf die Notitz im Almagest III. 2, nach welcher es das 50ste Jahr der ersten Callippischen Periode gewesen ist.
13. ⁸⁶) Almagest I. 3. und Copernicus II. 2.
14. ⁸⁷) Die Angabe über die Schiefe der Ekliptik bei Albategnius findet sich in der Nürnberger Ausgabe seines Werkes „De motu stellarum“ Cap. IV. fol. 8. a, und lauten die Worte dort so: „Nos autem in hoc nostro tempore cum Alhidada longissima, et latere, quorum opus et doctrina in Almagesti libro docetur post partium diminutionem et positionis instrumenti verificationem, tam optimam, quam esse possit, frequenter observavimus, solisque propiorem ascensum puncto zenith capitis in medii diei circulo in Aracta civitate 12 graduum et 26 minutorum, remotiorem autem ejus elongationem 59 graduum et 36 minutorum esse deprehendimus. Per hoc ergo probatum est, quantitatem arcus inter duo solstitia 47 graduum et 10 minutorum existere, declinationemque circuli signorim ab aequinoctiali circulo, non nisi harum partium medietatem, quod est 23 graduum et 35 minutorum obtinere, et hoc est spacium, quod inter duorum circulorum duos polos continetur.“ Im Texte der Nürnberger, Baseler und Thorner Ausgabe des copernicanischen Werkes ist die Schiefe der Ekliptik hier zu 23° 26′ und im 6sten Capitel III Buches zu 23° 25′ angegeben. Die Amsterdamer Ausgabe stellt wenigstens 23° 35′ als richtiger auf. Aus dem Berichte des Rhäticus, in welchem sich die richtige Angabe 23° 35′ findet, geht hervor, dass alle abweichende Angaben wohl nur auf Druck- oder Schreibfehlern beruhen.
15. ⁸⁸) Arzachel, Archazel, Azrachel, eigentlich Abraham Eizarakil, lebte zu Toledo 1080 n. Chr. nach dem Texte 1069 n. Chr. In einem Folio-Manuscripten-Bande der Wolfenbütteler Bibliothek, mit dem Signum 65 MS. beginnt auf fol. 171 ein Werk mit den Worten: „Incipiunt Canones Arzachelis sive regule supra tabulas astronomie constitutas supra civitatem toleti.“ In diesem Werke findet sich fol. 173 ein Capitel mit der Ueberschrift: „De ascensionibus signorum in circulo directo.“ In diesem Capitel stehen folgende Worte: „Accipies declinationem totam, que est secundum quod narravit Ptolemeus 23 graduum et 51 minuti, et secundum Jahiben, filium Albumasaris, admirabilis consideratoris, 23 graduum et 33 minutorum et 30 secundorum, que apud nos dicitur esse verior, quarum primam novimus rumore, et hanc didicimus per considerationem.“ Das Werk endigt auf fol. 180 mit den Worten: „Expliciunt canones arzachelis supra tabulas astronomie constitutas ad meridiem civitatis tholeti. Anno incarnationis Jesu Christi 1455 per Wilhelmum gezenstorffer.“ Hier wird also die Schiefe der Ekliptik um 30″ kleiner angegeben, als im Texte. In den sonstigen Schriften desselben Autors kommt aber die Schiefe der Ekliptik auch zu 23° 30′ vor, so z. B. findet sich in einem Quart-Manuscripten-Bande der Wolfenbütteler Bibliothek, mit dem Signim 24 MS. ein Werk, welches anfängt: „Incipiunt Regule de Astrolabio universali, quod Azarchel epistolis scripsit Maymoni regi Toleti.“ Der zweite Theil dieses Werkes fängt an mit: „Perfecta est pars prima cum laude dei et ejus auxilio, sequiturque secunda." In diesem zweiten Theile beginnt das zweite Capitel: „In scientiam declinationis gradus, que volueris ab aequinoctio diei post haec operatus pone notam supra ipsum gradum in zodiaco quemadmodum processit, post hoc pone aliquem ostensorem retis in quartam orientali septentrionali in limbo supra declinationem maximam, que est 23 graduum et dimidii, post hoc adspice si nota ceciderit sub medietate retis, postea adspice mamar quid supra ipsum transit gradum, et pone in eo notam supra locum, in quem cecidit.“ Am Rande ist bei der Zahlenangabe bemerkt: „ecce axialem declinationem arzachalam 9^m plus eā, quae nunc ponitur.“ Der König Maymon von Toledo, an welchen dieser Brief gerichtet ist, war ursprünglich, unter dem Namen Adafer Ali Maymon, während der Herrschaft der ommajadischen Khalifen, Statthalter von Toledo, machte sich aber im Jahre 1024 unabhängig; von da an bestand Toledo unter ihm und seinen Nachkommen als eigenes Reich, bis Alfons VI, König von Castilien, am 25. Mai 1085 Stadt und Reich eroberte. In dem zu Nürnberg 1534 gedruckten Werke: „Problemata XXIX saphaeae nobilis instrumenti astronomici, ab Joanne de Monteregio“, dessen zweiter Theil betitelt ist: „Sapheae recentiores doctrinae patris Abrusahk Azarchelis“, findet sich ebenfalls in Doctrina IV: „23 graduum fere cum dimidio“, in Doctrina VI „grad. 23 et semis.“ und in Doctrina VIII „23 et semis graduum.“
16. ⁸⁹) Herr M. Steinschneider sagt in seinem „Catalogus libr. hebr. in bibliotheca Bodlejana Spalte 1233—1234“: — „Noster est, ut recte primus observat Munk (Beer. Philos. p. 108.) celeber ille Prophatius, de quo diligentissime auctores colligit Astruk, Hist. de la faculté de Montpellier p. 168. — Ille tractatus de quadrante ex Lat. hebr. versum se habet, estque idem, qui sub nomine Jacob b. Machir in plurimis exstat Codd. hebr. (non confundendus cum op. de astrolabio a Nostro ex Arabico verso, ut fit ap. Bibliographos multos, v. interim quae disserui in Zeitschr. der Deutsch-morgenländischen Gesellsch. VIII. 380. 548), quorum congruit Versio Latina nomine Profatii Judaei in Cod. Paris. 7437, Patavii (W³ 1846) et Mus. Brit. Arund. 268⁵ (impf.). Accedit testimonium non refellendum de altero op. Profatio tributo, scil. Almanach seu Tabulis chronol. cum Canonibus introd., A. 1300 (i. e. radice), quae extant in Codd. Lat. Digb. 114, Bodl. 464. (i. e. Cat. MS. Angliae 2438 apud W¹ 1846), Rawl. 117 (quem contuli Oxonii), nihilque aliud continere ostendam, quam Vers, ex hebraico Cod. Uri 454 (W³ p. 514.). — Einer brieflichen Mittheilung desselben Herrn verdanke ich noch folgende Notiz: „Der berühmte Astronom Ptophatius ist Jacob ben Machir, genannt Prophiat-Tibbon, starb um 1307, wie ich aus HSS. ermittelt. Diese Zeitangabe stimmt auch mit der Stelle im Copernicus; denn Albategnius beobachtete um 877 und starb 929 ungefähr“. „Arzachel Hispanus ist der Araber Abu Ishak Ibrahim al Zarkali, über welchen u. A. eine Notitz von mir in der Zeitschr. der deutsch-morgenländischen Gesellschaft Bd. VII S. 379., der in der zweiten Hälfte des 11ten Jahrh. gelebt, Isak Israeli giebt das Jahr 1076 an. Ein Werk de motu solari desselben befindet sich, arabisch, im Cod. 175 des St. Johns Colleg in Oxford (nach Coxe’s Catalog p. 57.). Copernicus lässt Prophatius 230 Jahre später schreiben, also um 1300. Das Werk, von welchem Copernicus spricht sind die Tafeln (d.h. der sogenannte Almanach), in deren Vorrede Jacob b. Machir selbst den Zarkali um 400 der Flucht leben lässt. Es ist jedoch wahrscheinlich, dass hier nur das Jahrhundert angegeben ist, und die Zehner und Einer fehlen. Dieser Almanach hat zur Radix das Jahr 1300. Es ist wohl nicht nöthig, auf die beiden Werke des Prophatius einzugehen, welche astronomische Instrumente behandeln, nämlich eines, aus dem Arabischen übersetzt, (wahrscheinlich von Ahmed Ibn al Saffar), das andere, seine eigene Erfindung des Quadranten; obwohl beide in lateinischer Uebersetzung existiren, da ich glaube, dass Copernicus den Almanach, oder eine daraus entnommene Notiz, vor sich hatte. Ueber die Handschriften des Almanach müssen noch Untersuchungen angestellt werden, da die Angaben der Bibliographen wenig Werth haben, und noch eine Uebersetzung des arabischen Werkes von Ibn el Heithem in Betracht kommt. Ich kenne aus Autopsie die Bodlejanische Handschrift des hebräischen Originals dieser Tafeln. Ferner habe ich den Anfang des lateinischen Cod. Bodl. 464, verglichen mit Cod. Rawlinson C. 117 (Canones Almanach Profacii Judaei), copirt erhalten, und daher die Identität der Tafeln mit dem Almanach erkannt. Was endlich die Ziffern für die Schiefe der Ekliptik betrifft, so habe ich schon im Allgemeinen im Artikel „Jüdische Literatur“ in der Encyklopädie von Ersch und Gruber Bd. 27, S. 439 darauf hingewiesen, dass denselben schwer zu trauen, da die Abschreiber mitunter andere Zahlen substituirt haben. In der englischen Uebersetzung jenes Artikels, welche Mr. Spottiswoode in London veranstaltete und 1857 erschien, habe ich p. 186 Folgendes geschrieben: The obliquity of the ecliptic staded by Albatani, Ibn Ezra (Mitte des 12ten Jahrh.) and Levi ben Gerson (schrieb 1330—1340 ein originelles astronomisches Werk, welches hebräisch in Paris sich befindet und von Munk den Fachmännern empfohlen ist) as 23° 33′ is reduced by Prophatius to 23° 32′. Meine Quelle für Batani, Ibn Esra und Levi war das 1521 in Paris gedruckte Werk: De motu octavae sphaerae von Augustinus Ricius (Schüler des Abraham Zakul) Blatt 36. b., ob auch für Prophatius? bin ich nicht sicher, vermuthe es jedoch, da ich die Notiz zugleich geschrieben, und es die Tendenz des Ricius ist, auf solche Aenderungen astronomischer Bestimmungen hinzuweisen, obwohl sein eigenes Thema die Präcession der Nachtgleichen ist.“ Die obigen Worte, nach welchen Prophatius die Schiefe der Ekliptik zu 23° 32′ angegeben haben soll, stehen mit dem Texte im vollen Einklänge, während die Behauptung, als habe Albatani dieselbe gleich 23° 33′ gesetzt, dem in Anm. ⁸⁷) angeführten Citate als dem Werke des Albategnius selbst, nach welchem dort die Schiefe der Ekliptik zu 23° 35′ bestimmt ist, widerspricht. Nach einer Notiz des Herrn Curtze in der Thorner Zeitung No. 133. 1877. Juni 12 findet sich in der Bibliothek zu Upsala eine grössere Anzahl von Büchern, welche einst der Dombibliothek zu Frauenburg resp. der Jesuiten-Bibliothek zu Braunsberg angehört haben, und alle die Inschrift Liber Bibliothecae Varmiensis tragen, unter diesen führt der genannte Herr unter No. 10 an: „Ein Band, der der „Jesuiten-Bibliothek zu Braunsberg gehörte, in seinen älteren Theilen aber schon aus der Bibliothek fratrum minorum in Braunsberg stammt; die neueren Bestandtheile sind erst nach des Copernicus Tode hineingekommen. Darin ist aber eine Pergament-Handschrift des Almanach Prophatii Judei von 1302, die Copernicus sehr wohl benutzt haben kann, der den Prophatius mehrfach in seinem Werke erwähnt.“ Meine Bemühungen, eine authentische Abschrift der in dieser Handschrift sicher zu findenden Angabe des Prophatius über die Schiefe der Ekliptik zu erhalten, sind leider ohne Erfolg geblieben. In Zedler’s Universal-Lexicon Theil 29. S. 842. wird über Prophatius gesagt, dass er ein Rabbiner in Montpellier war, und nach Christmann Astronom, illustr. und Riccius in Praef. ad Almagestum Ptolemaei, ingleichen Lucas Gauricus in seiner Rede de laudibus Astronomiae, im 13ten Säculo geblüht habe, und dass sich König Alfons X, der Weise, von Castilien (1252—1284), als er seine Tabulae Alfonsinae verfertigt, desselben stark bedient habe. Von seinen Schriften, welche aber noch alle ungedruckt liegen, befinden sich:

    1, Verschiedene in der Vatican. Bibl. zu Rom in lat. Sprache,

    2, Tract. de quadrante, in der Paduanischen Bibl.

    3, Tabulae, in der Bodlej. Bibl.

    4, Tract. de eclipsi solis et lunae und

    5, Canones super Almanach, in der Bodlej. Bibl.

    Nach den oben mitgetheilten Notizen des Herrn Steinschneider würden die Nummern 3 und 5 identisch und diejenige Schrift sein, aus welcher Copernicus die Angabe über die Schiefe der Ekliptik geschöpft hat. Ueber Prophatius sehe man die neuerdings erschienene Abhandlung: Prophatii Judaei Montpessulani (a. 1300) Prooeminum in Almanach adhuc ineditum e versionibus duabus antiquis (altera quoque interpolata) una cum textu hebraico e manuscriptis primum editit suamque versionem latinam verbalem adjecit Mauritius Steinschneider (Bullettino Boncompagni, T. IX, 1876, 595—614).
17. ⁹⁰) Im 10ten Capitel des 3ten Buches wird gesagt 23° 28 ⅖’.
18. ⁹¹) Die in diesem Capitel von Copernicus mitgetheilten Angaben über beobachtete Aenderungen der Nachtgleichen und der Schiefe der Ekliptik, ergeben, übersichtlich zusammengestellt, folgende Register:
    REGISTER ÜBER DIE ÄNDERUNGEN DER NACHTGLEICHEN.

    Beobachter	lebte	Beobachtete Länge			Zeitraum in Jahren	Aenderung der Länge		Jahre für die Änderung von 1°	Zeitraum in Jahren	Aenderung der Länge		Jahre für die Änderung von 1°	Zeitraum in Jahren	Aenderung der Länge		Jahre für die Änderung von 1°
    		Zeichen	Grad	Min.		Grad	Min.			Grad	Min.			Grad	Min.
    Beobachtungen der Spica.
    Timochares	0293 v. Chr.	♍︎	22	20
    					0012	00	10	072,0
    	0281 v. Chr.	♍︎	22	30					0392	03	55	100,0
    					0380	03	45	101,0					0432	04	20	99,7
    Menelaus	0099 n. Chr.	♍︎	26	15					0420	04	10	100,8
    					0040	00	25	096,0					1796	24	44	72,3
    Ptolemäus	0139 n. Chr.	♍︎	26	40					1416	20	59	067,4
    					1376	20	34	066,8					1426	21	06	67,5
    Copernicus	1515 n. Chr.	♎︎	17	14					1386	20	41	067,0
    					0010	00	07	085,7
    	1525 n. Chr.	♎︎	17	21
    Beobachtungen des Regulus.
    Hipparch	0127 v. Chr.	♋︎	29	50
    					0266	02	40	099,7
    Ptolemäus	0139 n. Chr.	♌︎	02	30
    					0740	11	35	063,2
    Albategnius	0879 n. Chr.	♌︎	14	05
    Beobachtungen von $\beta$ des Scorpion.
    Timochares	0293 v. Chr.	♏︎	02	00
    					0392	03	55	100,0
    Menelaus	0099 n. Chr.	♏︎	05	55					0432	04	20	099,7
    					0040	00	25	096,0
    Ptolemäus	0139 n. Chr.	♏︎	06	20					0780	11	55	065,4
    					0740	11	30	064,3
    Albategnius	0879 n. Chr.	♏︎	17	50

    
    

    REGISTER ÜBER DIE ÄNDERUNGEN DER SCHIEFE DER EKLIPTIK.

    Beobachter	lebte	Beobachtete Schiefe.			Zeitraum in Jahren	Aenderung der Schiefe		Jahre für die Änderung um 1°
    		Grad	Min.	Sec.		Min.	Sec.
    Aristarch	0260 v. Chr.	23	51	20
    					399	00	00	$\infty$
    Ptolemäus	0139 v. Chr.	23	51	20
    					740	16	20	02718,37
    Albategnius	0879 n. Chr.	23	35	00
    					190	01	00	11400,00
    Arzachel	1069 n. Chr.	23	34	00
    					230	02	00	06900,00
    Prophatius	1299 n. Chr.	23	32	00
    					226	03	30	03875,71
    Copernicus	1525 n. Chr.	23	28	30

19. ^91a) Im Originalmanuscripte hatte Copernicus hier ursprünglich noch einige später durchstrichene Sätze beigefügt, aus welchen hervorgeht, dass er die elliptische Gestalt der Planetenbahnen ahnte! Es heisst dort: Estque hic obiter animadvertendum, quod, si circuli $hg$ et $cf$ fuerint inaequales manentibus caeteris condicionibus, non rectam lineam, sed conicam sive cylindricam sectionem describent, quam ellypsim vocant mathematici; sed de his alias. (Säcularausgabe der Revolutionen S. 166, Note zu Z. 26).
20. ⁹²) Buch III. Cap, 2.
21. ⁹³) Aristylus war Zeitgenosse des Timochares, lebte also c. 290 v. Chr. und beobachtete wahrscheinlich mit Timochares gemeinschaftlich zu Alexandrien. Ptolemäus benutzt die Beobachtungen Beider im Alm. VII. 3 als gleichzeitige. Lalande, Astr. I. p. 111. No. 315 bemerkt über Beide: „Les premiers Grecs qui cultiverent l’astronomie à Alexandrie, furent Timochares et Aristylle. Ptolémée, dans son Almageste, assure qu’ Hipparque avoit employé leurs observations, quoiqu’ imparfaites, et avoit reconnu par leur moyen le mouvement des étoiles en longitude (Ptol. VII. 1. 2. 3.). Ptolémé lui-même cite plusieurs de leurs observations: la plus ancienne est de l’annéc 294 avant l’ere vulgaire. Timochares vit le bord boréal de la lune toucher l’etoile boréale au front du scorpion: cette observation est une des meilleures que nous ayons pour connoitre le mouvement qu’ ont eu les étoiles fixes. Je m’en suis servi avec avantage dans un mémoire, où j’ai établi, tant par la théorie que par les observations, le changement des étoiles en latitude (Mém. Ac. 1758).
22. ⁹⁴) Hipparchus war in Nicäa in Bithynien c. 160 v. Chr. geboren, seine Beobachtungen sind theils in Rhodos, theils in Alexandrien angestellt. Von ihm rührt das erste Fixstern-Verzeichniss her. Ein ausführlicher Bericht über seine bedeutenden Arbeiten findet sich in Lalande’s Astr. I. p. 113—115. No. 321—327.
23. ⁹⁵) Agrippa beobachtete nach Alm. VII. 3. in Bithynien, also wahrscheinlich in Nicäa im zwölften Jahre Domitians, oder im 840ten Jahre Nabonassars, also im Jahre 93 n. Chr. und war folglich ein Zeitgenosse des Menelaus.
24. ⁹⁶) Menelaus beobachtete in Rom, im ersten Jahre Trajans, oder im 845ten Jahre Nabonassars, also im Jahre 98 n. Chr, vergl. Jdeler, Hist. Unters, p. 35.
25. ⁹⁷) Dieser Zeitraum reicht von 139 bis 881 n. Chr., und umfasst also 742 Jahre.
26. ⁹⁸) Es ist zu bedauern, dass Copernicus die Methode seiner eingehenderen Berechnung nicht mitgetheilt hat; nimmt man aber die nicht näher nachgewiesene Angabe an, dass nämlich die Bewegung der Anomalie der Präcession der Nachtgleichen in 1819 Jahren ihren vollständigen Umlauf um 21° 24′ überschritten habe, so ergiebt die Proportion 381⅖ : 360 = 1819 : $x$

    für $x$ allerdings 1716,937^{[WS 1]} Jahre, wofür dann im Texte 1717 Jahre gesetzt sind.

27. ⁹⁹) Vergleicht man z. B. die Beobachtungen des Menelaus mit denen des Ptolemäus, so liegt zwischen denselben ein Zeitraum von etwa 40 Jahren, und in dieser Zeit hat die Präcession der Nachtgleichen 25′ betragen, also in 96 Jahren 1°; dies ergiebt für eine Zeit von 102 Jahren 1° 3′,75, wofür im Text gesetzt ist 1° 4’. Hätte die Präcession in dem obigen Zeitraum von 40 Jahren 25’,098 betragen, so würde sich für 102 Jahre genau 1° 4 ergeben haben. Da nun von Timochares’ Zeit bis Copernicus, also in 1819 Jahren, die Präcession 25° 1’ betragen hatte, so ergiebt sich dieselbe für 1717 Jahre zu 25° 1’–1° 4’ = 23° 57’.
28. ¹⁰⁰) Da in 1717 Jahren die Präcession 23° 57’ betragen soll, so müsste zu einem ganzen Umlaufe derselben ein Zeitraum von 25808,768 Jahren, und nicht, wie in allen alten Drucken, von 25816 Jahren erforderlich sein. Die Warschauer Ausgabe hat 25809 (c. Säcular-Ausgabe p. 171. Anm. zu linea 18). Hiernach würden 15 1/39 Umgänge der Anomalie auf einen Umlauf der Präcession kommen. Vergl. Anm. ¹⁰⁴).
29. ¹⁰¹) Buch III. Cap. 2 ist die Schiefe der Ekliptik zur Zeit des Copernicus zu 23° 28′ 30″ angegeben, während hier 23° 28′ 24″ gesagt ist.
30. ¹⁰²) Georg Purbach oder Peurbach aus Peurbach in Oesterreich ob der Ens lebte von 1423 bis 1461, war Lehrer der Mathematik in Wien, und schrieb „Theoriae novae planetarum, Nürnberg 1472“ und „Sex primi libri systematis Almagesti, Venedig 1496.“
31. ¹⁰³) Johann, eigentlich Müller, auch Molitor, auch Kunsperg, Germanus, Frankus, Regiomontanus, geb. zu Königsberg in Franken 1436, starb zu Rom 1476. Tannstetter hat in seiner Vorrede zu der Tafel der Finsternisse von Peurbach einen Catalog, sowohl der gedruckten als auch der ungedruckten Werke des Regiomontanus geliefert. Beschreibungen seines Lebens besitzen wir von Gassendi, Doppelmayr und Weidler.
32. ¹⁰⁴) Die Division von 23° 57′ durch 1717 ergiebt zwar 0° 0′ 50″ 12‴ 55⁗, und nicht, wie alle Ausgaben haben 50″ 12‴ 5⁗. Wenn man aber 360° mit 25816 dividirt, so erhält man 50″ 12‴ 5⁗. Vergl. Anm. ¹⁰⁰).
33. ¹⁰⁵) Dies Resultat wird durch die Correctur der vorigen Anm. nicht verändert.
34. ¹⁰⁶) Chiach, eigentlich Chöak; die zu Berlin befindlichen Papyrusrollen mit griechischer Schrift haben durchgehends Χοτάχ. Vergl. Jdeler, Handbuch I. p. 97.
35. ¹⁰⁷) „Dies intercalares“. Herodot nennt sie ήμέρας πάρεξ τοῦ ἀριϑμοῦ II. 4. Die Griechen und griechisch redenden Aegypter nennen sie ἐπαγομέναι. Vergl. Diodor I. 13., Almagest III. 2, Plutarch de Is. & Osir. c. 12. Diese fünf Schalttage folgten auf den 30ten Mesori.
36. ¹⁴⁴) Nach den Berechnungen der Anm. ¹³⁸) hat man

    vom Anfange	der Olympiaden	bis Nabonassar	028a 247d	äyptisch
    	von Nabonassar	bis Alexanders Tod	424a 000d	„
    	von Alexanders Tod	bis Cäsar	278a 119d,5	„
    	von Cäsar	bis Augusturs	015a 245d,5	„
    	von Augustus	bis Christus	029a 130d,5	„
    	von Christus	bis Ptolemäus	138a 088d,5	„
    also vom Anfange der Olympiaden		bis Ptolemäus	914a 101d	„

    Dasselbe Resultat ergiebt sich auch, wenn man von 1771881,5 Tagen die Anzahl der Tage abzieht, welche von dem Anfange der julianischen Periode bis zum Anfange der Olympiaden verflossen sind

    	= 1438170,5	Tage
    Differenz	= 0333711	Tage,

    welche geben 914^a 101^d ägyptisch. Für diesen Zeitraum erhält man aus den Tafeln als gleichmässige

    Bewegung der Nachtgleichen:	12° 44′ 57″ 42‴
    im Texte steht dafür:	12° 44′
    als einfache Anomalie:	95" 51′ 00″ 03‴
    im Texte steht dafür:	95° 44′

    Beide Abweichungen erklären sich daraus, dass Copernicus den Zeitraum zwischen dem Anfange der Olympiaden und der Aera Nabonassars um 1 Jahr zu klein gefunden hat. — Zur Zeit der Ptolemäischen Beobachtungen war der beobachtete Ort des Frühlingsnachtgleichenpunktes 6° 40′, die doppelte Anomalie 42° 30′. Die Letztere liefert nach den Tafeln eine Prosthaphärese von 47′ 40″, wofür man im Texte 48′ liest. Diese Prosthaphärese zu dem beobachteten Orte des Frühlingsnachtgleichenpunktes, 6° 40′, hinzu addirt, giebt den mittleren Ort des Frühlingsnachtgleichenpunktes zur Zeit der Ptolemäischen Beobachtungen zu 7° 27′ 40″, wofür im Texte 7° 28′. Hierzu 360° addirt, und die oben angegebene gleichmässige Präcession von 12° 44′ 57″ 42‴ abgezogen, ergiebt für den mittleren Ort des Frühlingsnachtgleichenpunktes zur Zeit des Anfanges der Olympiaden 354° 42′ 42″ 18‴, wofür im Texte 354° 44′. Der Frühlingsnachtgleichenpunkt folgte also damals γ Arietis um 5° 17′ 17″ 42‴ nach. Addirt man 360° zu der einfachen Anomalie zur Zeit des Ptolemäus, nämlich zu 21° 15′, und zieht von dieser Summe die oben berechnete einfache Anomalie 95° 51′ ab, so erhält man als Ort der einfachen Anomalie zur Zeit des Anfanges der Olympiaden: 285° 24′, wofür man im Texte 285° 30′ findet. Von da ab lassen sich die Oerter oder „Wurzeln“ für die im Texte namhaft gemachten Termine nach den Tafeln und den zwischenliegenden Zeiten leicht berechnen. In der nachstehenden, kleinen Tafel sind die genauer berechneten Orte mit den im Texte angegebenen zur Vergleichung zusammengestellt.

    Termine.	Ort der Frühlingsnachtgleiche										Ort der einfachen Anomalie
    	nach dem Text		genauer berechnet				Differenz				nach dem Text		genauer berechnet				Differenz
    	°	′	°	′	″	‴	°	′	″	‴	°	′	°	′	″	‴	°	′	″	‴
    Olympias I. 1	351	44	354	42	42	18	-0	1	17	42	285	30	285	24	00	00	-0	6	00	00
    Nabonassar			355	06	42	03							288	24	22	30
    Alexanders Tod	001	02	001	01	26	41	-0	0	33	19	332	52	332	51	21	06	-0	0	38	54
    Cäsar	004	55	004	54	20	12	-0	0	39	48	002	02	002	02	01	58	+0	0	01	58
    Augustus			005	07	26	59							003	40	36	41
    Christus	005	32	005	32	00	47	+0	0	00	47	006	45	006	45	16	27	+0	0	16	27
    Ptolemäus	007	28	007	27	40		-0	0	20	00	021	15	021	15	00	00	±0	0	00	00

37. ¹⁰⁸) Wenn in 25816 Jahren 360° durchlaufen werden, so kommen auf 420 Jahre 6° 1′ 27″ 51‴, werden dagegen in 1717 Jahren 23° 57′ zurückgelegt,^{[WS 2]} so ist die jährliche Bewegung 6° 1′ 33″.
38. ¹⁰⁹) Buch III. Cap. 2. und das Verzeichniss Anm. ⁹¹).
39. ¹¹⁰) Die Bewegung der doppelten Anomalie beträgt in 1717 Jahren 360°, also in 420 Jahren 90° 34′ 35″, wofür im Text gesetzt ist 90° 35′.
40. ¹¹¹) Von hier an benutzen wir die Lesart der Säcularausgabe, die hier dem Druckfehler-Verzeichniss der Original-Ausgabe folgt. In allen übrigen Ausgaben folgen zunächst die Worte Seite 150, Zeile 3.: „Nachdem dies so bestimmt ist“ u. s. w. bis zur vorletzten Zeile des Capitels: „gleich 28′ ist“, dann erst der hier unmittelbar sich anschliessende Passus. Die letzten zwei Zeilen des Capitels fehlen in allen Ausgaben mit Ausnahme der Säcularausgabe.
41. ¹¹²) Die im Text angedeutete Rechnung stellt sich so dar: 7107 : 10000 = 50′ : 70′ = 20′ : 28 = $bg$ : der grössten Ablenkung der Pole.
42. ^112a) Hier lesen die früheren Ausgaben 5/6°, während das Druckfehler-Verzeichniss und die Säcular-Ausgabe den im Texte benutzten Werth einsetzen. Auch gleich darauf müssen daher die früheren Ausgaben 1° 40′ für 2° 20′ haben.
43. ¹¹³) Buch III. Cap 3.
44. ¹¹⁴) Die Säcular-Ausgabe hat 350, während in den alten Drucken 450 steht. Diese Abweichung des Textes wird in den Anmerkungen der Säcular-Ausgabe ausnahmsweise nicht erwähnt. Am Schlusse des hier vorliegenden Capitels ergiebt sich, dass die grösste Ablenkung der Pole 28′ betrage, also nach jeder von beiden Seiten seiner mittleren Lage 14′. Dividirt man um 90° mit 450, so erhält man 12′, während bei der Division durch 350 vielmehr 15′ 25″, 7 herauskommt. Diese letztere Grösse wird offenbar von 14′ nicht überschritten, wohl aber 12′, und deshalb ist die Lesart der Säcular-Ausgabe richtig.
45. ^114a) Hier lesen die früheren Ausgaben 50′, statt 70′.
46. ¹¹⁵) In dem rechtwinkligen, sphärischen Dreiecke $ibg$ ist $\sin bg$ = $\sin bi\cdot \sin big$, wo $bi$ = 70′ und $big$ = 23° 40′ ist, danach erzielt sich $bg$ = 28′ 1″.9, wofür im Text 28′ gesetzt ist. Die früheren Ausgaben haben 20′.
47. ¹¹⁶) Auch hier lesen die früheren Ausgaben 20′, was sich mit den übrigen Zahlangaben nicht vereinigen lässt. Vergl. Anm. ¹¹⁵).
48. ¹¹⁷) Nach dem Verzeichnisse der Sehnen Buch I. Cap. 12. erhält man:

    100000 : 5234 = 70′ : $x$, also $x$ = 3′.6638, wofür im Text 4′ gesetzt ist.

49. ¹¹⁸) In der Weise der Anm. ¹¹⁷) wäre

    100000 : 10453 = 70′ : $x$, also $x$ = 7′.3171, wofür im Text 7′ gesetzt ist.

50. ¹¹⁹) Wie in den beiden vorangehenden Anmerkungen, ergiebt diese Rechnung

    100000 : 15643 = 70′: $x$, also x = 10′,9501, wofür im Text 11′ gesetzt ist.

51. ¹²⁰) Buch II. Cap. 3.
52. ¹²¹) Die Säcular-Ausgabe liest hier „in anomalia semicirculo minore“, während die alten Drucke wohl richtiger „in anomaliae semicirculo minore“ haben. Diese abweichende Lesart ist in den Anmerkungen der Säc.-Ausg. ausnahmsweise nicht vermerkt, und gehört wohl zu den Druckfehlern.
53. ¹²²) Dies ergiebt sich aus der Proportion 24 : 60 = 22 : $x$, woraus $x$ = 55

    ebenso wie gleich nachher: 24 : 60 = 20 : $x$, woraus $x$ = 50

54. ¹²³) Die Säc.-Ausg. liest richtig 48°, während die alten Drucke 28° haben.
55. ¹²⁴) Die hier eingefügte Rechenregel enthält nur die Amsterdamer Ausgabe, und die Säcular-Ausgabe in den Anmerkungen zu pag. 182.
56. ¹²⁵) In dem 6ten Capitel des III. Buches ist gezeigt, dass das ganze Vorrücken der Nachtgleichen in 1717 ägyptischen Jahren 23° 57′, oder besser in 25816 ägyptischen Jahren 360° beträgt, wir hätten also 25816 : 432 = 360 : $x$, was für $x$ giebt 6° 1′ 27″, wofür im Texte 6° gesetzt ist. Die Tafeln desselben Capitels ergeben folgendes: 432 Jahre sind 7 $\times$ 60 + 12,

    7 $\times$	60	giebt	5° 51′ 24″
    	12	„	0° 10′ 02″ 25‴
    zusammen			6° 01′ 26″ 25‴

57. ¹²⁶) Da nach Anm. ¹⁰⁰) und ¹⁰⁸) der ganze Umlauf der Präcession der Nachtgleichen, also 360°, eine Anzahl von 25816 ägyptischen Jahren erfordert, so setzt eine Präcession von 23° 57′ einen Zeitraum von 1717,4711…, und nicht von rund 1717 ägyptischen Jahren voraus. Berechnet man auf dieser Grundlage die doppelte Anomalie, so hat man

    	1717,47111… : 432 = 360 : $x$
    woraus	$x$ = 90° 33′ 10″ 5‴.

    Ermittelt man dagegen die doppelte Anomalie nach den Tafeln des 6ten Capitel Buch III. so erhält man die einfache Bewegung der Anomalie

    für	7 $\times$	60	Jahr	=	44° 01′ 04″
    „		12	„	=	01° 15′ 28″ 49
    zusammen				=	45° 16′ 32″ 49‴
    mit 2 multiplicirt				=	90° 33′ 05″ 38‴

    wofür im im Text 90° 35′ gesetzt ist.

58. ¹²⁷) In der Weise der Anm. ¹²⁵) erhält man aus 25816 : 742 = 360 : $x$ $x$ = 10° 20′ 49″ 27‴

    Die Tafeln ergeben für 12 $\times$	60	Jahre	=	10° 02′ 25″
    	22	„	=	00° 18′ 24″ 25‴
    zusammen			=	10° 20′ 49″ 25‴

    wofür im Texte 10° 21′ gesetzt ist.

59. ¹²⁸) Vergl. Anm. ⁹¹), wo sich im Register über die Aenderung der Nachtgleichen beim Regulus 11° 35′ und beim Scorpion 11° 30′ ergeben hat.
60. ¹²⁹) Nach den Anmerkungen ¹²⁷) und ¹²⁸) hat man bei der Annahme von 11° 35′ entweder 1° 14′ 0″ 6‴ oder 1° 14′ 10″ 35‴, und bei der Annahme von 11° 30′ entweder 1° 9″ 0″ 6‴ oder 1° 9′ 10″ 35‴. Offenbar haben wir für die Folge die Angabe 11° 30′ zu Grunde zu legen.
61. ¹³⁰) Der Unterschied zwischen der mittleren und der wahren Bewegung der Nachtgleichen hat sich Buch III. Cap. 7. zu 1° 10′ ergeben.
62. ¹³¹) Zur Erläuterung und Erweiterung dieses Capitels möge die folgende Berechnung hier ihre Stelle finden:

    der	1te	Zeitraum	von	Timochares	293 v. Chr.	bis Ptolemäus	139 n. Chr.	umfasst	432	Jahre
    „	2te	„	„	Ptolemäus	139 n. Chr.	bis Albategnius	881 n. Chr.	„	742	„
    „	3te	„	„	Albategnius	881 n. Chr.	bis Copernicus	1525 n. Chr.	„	644	„

    Zur Ermittelung der wirklichen Bewegung der Nachtgleichen in dem 3ten Zeitraume haben wir

    dieselbe von Ptolemäus bis Copernicus	in	1386	Jahren	=	20° 40′ (Spica)
    und von Ptolemäus bis Albategnius	in	742	„	=	11° 30′ 129)
    folglich von Albategnius bis Copernicus	in	644	Jahren	=	09° 10′.

    In den drei Zeiträumen beträgt die gleichmässige und wirkliche Bewegung

    1,	06°	und	04° 20′	letztere	ist	verkleinert	um	1° 40′ = $mn$	${\bigg \rbrace }$ $no$ = 0° 31′
    2,	10° 21′	„	11° 30′	„	„	vergrössert	„	1° 09′ = $mo$
    3,	09°	„	09° 10′	„	„	„	„	0° 10′ = $oq$

    Die hier gebrauchten Buchstaben beziehen sich auf die Figur im Texte, in welche der Punkt der Anomalie zur Zeit des Copernicus zwischen $d$ und $f$ mit $r$, und das Loth von $r$ auf $ab$, mit $rq$ eingetragen ist.

    Die doppelten Anomalien betragen in denselben Zeiträumen

    1,	Bogen	$fdg$	= 090° 35′
    2,	„	$gep$	= 155° 34′
    3,	„	$pafr$	= 135° 02′	${\bigg \rbrace }$ also Bogen $fr$ = 21° 11′
    	„	$paf$	= 113° 51′

    Hiernach ist Bogen	$fdgep$	= 246° 09′
    	$fdge$	= 225° 17′ 30″
    	$ep$	= 020° 51′ 30″

    Zieht man ferner den Bogen $dgcepafr$ = 335° 53′ 30″ von 360° ab, so erhält man

    $dr$ = 24° 6′ 30″.

    Nun ist $bo$

    = $\sin ep$ = 356

    wenn

    $ab$

    =

    1000,

    also

    wenn

    $ab$

    =

    70′

    so

    ist

    $bo$ = 024′

    $bm$

    = $\sin gd$ = 722,87

    „

    „

    „

    „

    „

    „

    „

    „

    „

    $bm$ = 050′

    folglich $mbo$ = 074′

    soll aber, wie oben, sein 1° 9′, ist also zu gross um 5′,

    ferner ist

    $mn$ = 100′

    folglich $no$ = 026′

    soll aber, wie oben, sein 0° 31′, ist also zu klein um 5′.

    Ebenso ist $bq$ = $\sin dr$ =408,46 wenn $ab$ = 1000, also wenn $ab$ = 70′, so ist	$bq$ = 29′
    	$bo$ = 24′
    folglich	$oq$ = 05′,

    soll aber, wie oben, sein 0° 10′, ist also zu klein um 5′.

    Diese Differenzen werden alle ausgeglichen, wenn der kleine Kreis gegen den Sinn des Umlaufes der Anomalie um 2° 47′ 30″ gedreht wird, wodurch

    $dg$ =	42° 30′
    $ep$ =	18° 04′
    $fd$ =	48° 05′
    $rd$ =	26° 54′

    werden.

    Fängt man nun beim Messen der Bogen von $d$ an, so erhält man für die Periode

    1,	von	$d$	bis	Timochares	den	Bogen	$dgcepaf$	= 311° 55′
    2,	„	$d$	„	Ptolemäus	„	„	$dg$	= 042° 30′
    3,	„	$d$	„	Albategnius	„	„	$dgcep$	= 198° 04′
    4,	„	$d$	„	Copernicus	„	„	$dgcepafr$	= 333° 06′

    Hiernach ist $bm$	= $\sin$ 42° 30′ = 47′,29 wenn $ab$ = 70′
    $bo$	= $\sin$ 18° 04′ = 21′,71
    $bn$	= $\sin$ 48° 05′ = 52′,09
    $bq$	= $\sin$ 26° 54′ = 31′,67
    $mn$	= $bm$ + $bn$ = 1° 40′
    $mo$	= $bm$ + $bo$ = 1° 9′
    $oq$	= $bq$ - $bo$ = 0° 10′,

    was mit den hier zu Grunde gelegten Beobachtungen hinreichend übereinstimmt.

63. ¹³²) Die Säc.-Ausg. hat hierfür 144° 4′, die Tafeln geben aber

    	144° 40′ 15″	für	23 $\times$ 60	Jahre
    	000° 44′ 01″ 149‴	„	7	„
    zusammen	145° 24′	für	1387	Jahre	wie die alten Ausgaben lesen.

    Aus den doppelten Anomalien, wie sich dieselben gegen das Ende der Anm. ¹³¹) ergeben haben, erhält man aber, als Differenz zwischen Ptolemäus und Copernicus 290° 36′, und dies halbirt, ergiebt die einfache Anomalie 145° 18′.

    Zu der einfachen Anomalie der Säc.-Ausg., also zu 144° 4′ kann man leicht mittelst der Tafeln die zugehörige Zeit berechnen, denn

    	138° 22′ 51″	entsprechen	22 $\times$ 60 =	1320	Jahren
    	005° 39′ 39″ 44	„		54	„
    	138° 01′ 29″ 16	„				86 Tagen
    zusammen	144° 04′	„		1375	Jahren	86 Tagen
    		hierzu für Ptolemäus		139	„
    		ergiebt das Jahr		1514	n. Chr.

    Im Cap. 2. des III Buches bezeichnet aber Copernicus seine Beobachtungen der Spica durch die Jahre 1515 und 1525 n. Chr. Die einfache Anomalie 144° 4′ passt also zu keinem dieser beiden Beobachtungsjahre. Man könnte nun meinen, Copernicus bezöge sich auf das Jahr 1515, welches dem Jahre 1514 nahe liegt; aber im Anfange des vorliegenden Cap. selbst ist der Zeitunterschied zwischen den Beobachtungen des Ptolemäus und Copernicus, auch in der Säc.-Ausg. zu 1387 äg. Jahren angegeben, addirt man dazu 139, so erhält man 1526 äg. Jahre n. Chr., woraus erhellt, dass hier die Beobachtung des Copernicus vom Jahre 1525 n. Chr. gemeint ist. Aus allen diesen Gründen erscheint die Lesart der Säc.-Ausg. sachlich als nicht zu rechtfertigen, obleich dieselbe thatsächlich mit dem eigenhändigen Manuscripte des Copernicus übereinstimmt.

64. ¹³³) Diese Angabe stimmt mit derjenigen in Cap. 6 Buch III überein, während in Cap. 2 Buch III. 23° 28′ 30″ steht.
65. ¹³⁴) In der Säc.-Ausg. ist mit der in Anm. ¹³²) hervorgehobenen abweichenden Lesart weiter gerechnet, wodurch jene Ausg. $df$ = 75° 19′ liest, während die älteren Drucke auf Grund der Tafeln $df$ = 76° 39′ haben. So wird denn auch in der Säc.-Ausg. $\sin df$ = $bk$ = 967 statt 973, und also auch $gk$ = 1899 statt 1905 der älteren Ausgaben. Beide Lesarten führen aber schliesslich, und ganz folgerichtig, auf dasselbe Resultat: $ac$ = 24′.
66. ¹³⁵) $gk$ : $ac$ = 1904,98 : 2000 = 22′ 56″ : $x$ ergiebt $x$ = 24′ 4″,63.
67. ¹³⁶) $ag$ = 1000 — $gb$ = 68, also $ag$ : $ac$ = 68 : 2000 = $x$ : 24′, ergiebt $x$ = 48″,96, dadurch wird die grösste Schiefe der Ekliptik = 23° 52′ 8″,96.
68. ¹³⁷) $kc$ = 1000 — $kb$ = 27, also $ac$ : $kc$ = 2000 : 27 = 24′ : $x$, ergiebt $x$ = 19″,44, dadurch wird die kleinste Schiefe der Ekliptik = 23° 28′ 4″,56.
69. ¹³⁸) Die Epoche des Anfangs der Olympiaden ist der athenienser Mittag des ersten Juli des 3938sten Jahres der julianischen Periode, oder des 776ten Jahres vor Chr. Vergl. Ideler, Handbuch I. pagg. 373 und 377.

    Seit Anfang der julianischen Periode waren also verflossen	. . . .	1438170,5	Tage.
    Die Epoche der Nabonassarischen Aera ist der alexandrianer Mittag den 26ten Februar des 3967ten Jahres der julianischen Periode, oder des 747ten Jahres vor Chr. Vergl. Ideler, Handbuch I pag. 98.
    Seit Anfang der julianischen Periode waren also verflossen	. . . .	1448637,5	Tage
    	Differenz	0010467	Tage
    das sind 28a 247d ägyptisch, statt dessen haben alle Ausgaben, einschliesslich der Säcular-Ausgabe 27a 247d, was offenbar auf einem Irrthum beruht.
    Die Epoche der Aera nach Alexanders Tode ist der alexandriner Mittag des 12ten Novembers des 4390ten Jahres der julianischen Periode, oder des 324ten Jahres vor Chr. Vergl. Ideler, Handbuch I. pag. 107.
    Seit Anfang der julianischen Periode waren also verflossen	. . . .	1603397,5	Tage
    	davon ab	1448637,5	„
    	Differenz	0154760	Tage,
    das sind 424a 0d ägyptisch, hiermit stimmen alle Ausgaben des Copernicus zusammen.
    Die Epoche der julianischen Aera ist die Mitternacht auf den 1ten Januar des 4669ten Jahres der julianischen Periode, oder das 45te Jahr vor Chr. Vergl. Ideler, Handbuch II. pagg. 131 und 173.
    Seit Anfang der julianischen Periode waren also verflossen	. . . .	1704987	Tage,
    	davon ab	1603397,5	„
    	Differenz	0101589,5	Tage,
    das sind 278a 119d,5 ägyptisch, statt dessen hat die Säcular-Ausg. 178a 118d,5, was in Bezug auf die Anzahl der Jahre nur auf einem Druckfehler beruhen kann, da die älteren Drucke alle 278a haben, und über eine abweichende Lesart sich kein Vermerk in der Säc.-Ausg. findet. Die Anzahl der Tage ist aber in allen Ausgaben um einen Tag kleiner, als sich aus obiger Rechnung ergiebt.
    Die Epoche der Aera des Augustus ist der alexandriner Mittag am 31ten August des 4684ten julianischen Jahres, oder des 30ten Jahres vor Chr.
    Seit Anfang der julianischen Periode waren also verflossen	. . . .	1710707,5	Tage
    	davon ab	1704987	„
    	Differenz	0005720,5	Tage,
    das sind 15a 245d,5 ägyptisch, hiergegen haben alle Ausgaben des Copernicus 246d,5.
    Die Epoche der Aera Christi ist die Mitternacht auf den 1ten Januar des 4714ten Jahres der julianischen Periode, oder des 1ten Jahres nach Chr. Vergl. Ideler, Handbuch I. pag. 106.
    Seit Anfang der julianischen Periode waren also verflossen	. . . .	1721423	Tage
    	davon ab	1710707,5	„
    	Differenz	0010715,5	Tage,
    das sind 29a 130d,5, die Säc.-Ausg. hat dasselbe, in der Baseler Ausgabe fehlt 0,5 Tage.

    Copernicus Buch II. Cap. 14. nimmt an, dass Ptolemäus die von ihm beobachteten Sternörter für den Mittag des 24ten Februars des 139ten Jahres nach Christus, oder des 4852ten Jahres der julianischen Periode, oder des 886ten Jahres Nabonassars, oder des 462ten Jahres nach Alexanders Tode, oder des 2ten Jahres des Aelius Antoninus, Pharmuthi 10, bestimmt habe.

    Seit Anfang der julianischen Periode waren also verflossen	. . . .	1771881,5	Tage
    	davon ab	1721423	„
    	Differenz	0050458,5	Tage,

    das sind 138^a 88^d,5; in allen Ausgaben fehlt der halbe Tag.

    Freilich widerspricht der letztere Termin der eigenen Angabe des Ptolemäus, Alm. VII. 5, welcher den Anfang, also den 20ten Juli, der Regierung des Antoninus als die Zeit, für welche seine Beobachtungen gelten, angiebt.

70. ¹³⁹) Alle Ausgaben haben hier fälschlich Numatius statt Munatius.
71. ¹⁴⁰) 138 julianische Jahre, das Jahr zu 365,25 Tagen gerechnet, sind 138 ägyptische Jahre, das Jahr zu 365 Tagen gerechnet, und 34 Tage.
72. ¹⁴¹) Nach den Berechnungen der Anm. ¹³⁸) muss diese Summe 914 Jahre 101 Tage lauten, es fehlt eben im Texte das Jahr, um welches die Zeit vom Anfange des ersten Jahres der ersten Olympiade bis auf Nabonassar grösser ist, als im Texte berechnet.
73. ¹⁴²) Vergl. Buch III. Cap. 9.
74. ¹⁴³) Nach dem Verzeichnisse zu Buch III. Cap. 8.
75. ¹⁴⁵) Buch III. Cap. 6.
76. ¹⁴⁶) Buch III. Cap. 8.
77. ¹⁴⁷) Buch III. Cap. 11 und Anm. ¹⁴⁴)
78. ¹⁴⁸) Genauer 026° 48′ 41″ 34‴
79. ¹⁴⁹) Genauer 166° 30′ 26″ 47‴
80. ¹⁵⁰) Genauer 333° 18′ 53″ 34‴
81. ¹⁵¹) Genauer 000° 31′ 48″ 09‴
82. ¹⁵²) Genauer 027° 20′ 29″ 43‴
83. ¹⁵³) Nämlich 197° 20′ 29″ 43‴ und davon 180° abgezogen, giebt 17° 20′ 29″ 43‴ als Abstand der Spica von der Wage.
84. ¹⁵⁴) Buch III. Cap. 2.
85. ¹⁵⁵) Buch II. Cap. 3.
86. ¹⁵⁶) Man hat nämlich 60 : 24′ = 1′ : $x$, woraus $x$ = 24″.
87. ¹⁵⁷) In der Ausgabe, welche Schreckenfuchs vom Almagest besorgt hat, stellt Buch III. Cap. 2. fol. 59: 178 statt 177, was aber ein Druckfehler ist.
88. ¹⁵⁸)

    Hipparch beobachtete ♎︎ zu Alexandria 177 nach Alexanders Tode Mitternacht vom 3 auf den 4ten Schalttag, es waren also verflossen	176a	362d	12h
    Ptolemäus beobachtete ♎︎ zu Alexandria 463 nach Alexanders Tode 1h 12m nach Sonnenaufgange den 9ten Athyr, es waren also verflossen	462a	067d	19h	12m
    Differenz	285a	070d	07h	12m
    ${\frac {285}{4}}=$		071	06
    Differenz			22h	48m

    das sind aber ${\frac {19}{20}}$Tag. Nun ergiebt $285:{\frac {19}{20}}=x:1$ $x=300$
89. ¹⁵⁹)

    Hipparch beobachtete ♈︎ zu Alexandria 178 nach Alexanders Tode beim Aufgange der Sonne am 27 Mechir, es waren also verflossen	177a	175d	18h
    Ptolemäus beobachtete ♈︎ zu Alexandria 463 nach Alexanders Tode 1h Nachmittags am 7 Pachon, es waren also verflossen	462a	246d	01h	12m
    Differenz	285a	070d	07h	12m
    ${\frac {285}{4}}=$		071	06
    Differenz			22h	48m

90. ¹⁶⁰) ${\frac {19}{20}}$ Tage durch 285 dividirt, giebt ${{\frac {19}{5700}}^{\text{d}}}$, dies von 1/4 abgezogen, giebt ${{\frac {5624}{22800}}^{\text{d}}}$, und das ist $={{\frac {14}{60}}+{\frac {48}{3600}}}$ Tage.
91. ¹⁶¹) Albategnius de scientia stellarum. Nürnberg 1537. Cap. XXVII. fol. 27.
92. ¹⁶²) In C. Ritters Erdkunde Theil X. 1843. pagg, 1116 bis 1143 und sonst, finden sich folgende hierher gehörende Notizen: Rakka, Sitz des berühmten sabischen Astronomen Al Batheni, Albategnius (confr. J. Golius ad Alferg. p. 252, und J. Rennell Comparat. geogr. I. p. 34.), welcher dort im Jahre 912 n. Chr. — ⌈sic! Dies ist aber ein Irrthum, denn Albategnius giebt selbst als Data seiner Beobachtungen an: in dem in Anm. ¹⁶¹) angeführten Werke Cap. XXVII und XXVIII. fol. 27 & 29. : 1194 Adhilcarnain i. e. 883 p. Chr. und Cap. XXX und LI. fol. 36 & 79. : 1191 ad Hilcarnain i. e. 879 p. Chr.⌋ — seine astronomischen Bestimmungen machte. Er giebt die Breite in den Tafeln auf 36° oder 36° 1′ nördlich nach Ibn Xathir, 36° 3′ nach Ibn Junis an. Die Längenangabe wurde in seinen Handschriften unter der corrumpirten Benennung Aracta, statt Arraca, verderbt eingetragen. Rennell giebt an 36° 1′ nördl. Br. 39° 3′ 30″ östl. L. von Greenwich. Chesney beobachtete im Palaste Harun al Raschid’s an der Ostecke der Stadt, und fand 35° 55′ 35‴ nördl. Br. 39° 3′ 58″,5 östl. L. v. Greenwich. Dagegen die östliche Mündung des benachbart in den Euphrat einfliessenden El-Belik-Flusses zu Aran (Aram) 35° 53′ 22″ nördl. Br. 39° 7′ 40″,5 östl. L. v. Greenwich. Die Stadt ist von Alexander d. G. am Euphrat erbaut, und Νιϰηφόριον (Nicephorium) genannt. (Vergl. Isidor. Charac. ed. E. Müller. Paris. 8. 1839 im Supplém. aux dernieres edit. des pet. geogr. p. 248. — Strabo XVI. 747. — Plin. H. N. V. 21 & VI. 30). Der parthische Name ist Philiscum. (Vergl. Mannert, Geogr. d. Gr. u. R. VI. 1. p. 527. — Plin. H. N. V. 21). Im 4ten Jahrhundert heisst es Καλλίνιϰον (Callinicum), weil der Sophist Callinicus Sutorius, welcher nach Suidas unter dem Kaiser Gallienus (261 — 268 n. Chr.) lebte, und eine Geschichte Alexanders d. Gr. schrieb, dort ermordet wurde, (Mannert a. a. O. V. 2. p. 286.); auch verstümmelt Kalonicus, „quae eadem“ Al-Racca (Greg. Abul-Pharag. Hist. dyn. p. 65.), auch Ballonicus, Calonica, Anikos, auch Clunicojo (Ritter X. p. 1127). Im 5ten Jahrhundert heisst es Leontopolis, nach dem Kaiser Leo II, Thrax, der ihr im Jahre 466 n. Chr. neue Mauern gab. Die Stadt lag in Osrhoene. Seit dem 7. Jahrhundert ist der arabische Name Racca (Bewässerung) beibehalten. Bei Ibn Sayd findet sich noch der Beiname ol Beidoa (die weisse). Das Ar vor Racca bedeutet Stadt. Die Stadt Batne, Batna, Batana, Bataneae der Syrer, die spätere Sarug der Araber, war die Heimath des grossen, sabischen Astronomen Al Batheni, Aractensis, der als Muhamedes bald Albatani, bald Albettanius von Bettan oder Bittan, von seiner Geburtsstadt Batna, bald Alcharani genannt, von der Stadt Charrae (Carrhae, Haran) seinen Namen erhalten haben soll.
93. ¹⁶³)

    Racca liegt	39°	03′	30″	östl.	v.	Gr.
    Alexandria	29°	53′	27″	„	„	„
    Längendifferenz	9°	11′	03″,

    wofür im Text 10° gesetzt ist. Die Längendifferenz ist gleichwerthig mit 36^m 40^s,2 Sternzeit oder 36^m 34^s, 19 mittl. Zeit.

94. ¹⁶⁴) Nach den Angaben des Copernicus gestaltet sich die Rechnung so:

    Ptolemäus beobachtete ♎︎ zu Alexandria 463 n. Alex. Tode, 1h nach Aufgang der Sonne, den 9ten Athyr, es waren also verflossen	0462a	067d	19h	12m
    Die Differenz der mittleren Zeit von Alexandria und Rakka ist				40m
    zusammen	0462a	067d	19h	52m
    Albategnius beobachtete ♎︎ zu Rakka 1206 n. Alex. Tode 72/5h nach Sonnenuntergang am 7ten Pachon, es waren also verflossen	1205a	246d	13h	24m
    Differenz	0743a	178d	17h	32m
    743/4 =	0185d	018h
    Differenz		007d	00h	28m

    wofür im Text 7^d 0^h 24^m gesagt ist. Vertheilt man diese 7^d 0^h 28^m auf 743 Jahre, so kommen auf jedes Jahr 13^m 36^s,25841, diese Zeit fehlt also an dem 1/4 Tag oder an 6^h, danach ist die Jahresdauer 365^d 5^h 46^m 23^s,74159, wofür im Text 365^d 5^h 46^m 24^s.

    Nach den neueren Ermittlungen der geogr. Längendifferenz zwischen Rakka und Alexandria, wie sie in Anm. ¹⁶²) angegeben sind, ergiebt sich auf demselben Wege:

    365^d 5^h 46^m 24^s,0186.
95. ¹⁶⁵) 7^d 2/5^h sind 71/60^d, nun verhält sich $743:7{\frac {1}{60}}=1:{\frac {1}{x}}$, woraus sich berechnet $x=105,89$, und hierfür steht im Text 106.
96. ¹⁶⁶) Der Termin des Todes Alexanders ist 324 v. Chr. den 12ten November, alexandriner Mittag, das sind also

    	0323a	050d	v. Chr.	Die Beobachtung des Copernicus war
    	1514a	256d	n. Chr.
    zusammen	1837a	306d		dazu kommen noch die Schalttage von 1837 Jahren
    		459
    zusammen	1839a	035d	nach Alex. Tode, d. i. aber im Jahre 1840 den 6 Phaophi.

97. ¹⁶⁷)

    Rakka	liegt	39°	03′	30″	östl.	v.	Greenwich,	Rennell
    Frauenburg	„	19°	40′	07″,5	„	„	„	Textor in Zach’s monatl. Corr. 1798 & 1799
    Differenz		19°	23′	22″,5	statt dessen steht im Text 25°.

    Diese Längendifferenz giebt in Zeit ausgedrückt	1h 16m 13s,5 Sternzeit
    oder	1h 16m 01s,01234 mittlere Zeit.

98. ¹⁶⁸) Diese Berechnung beruht auf dem Verfahren der Anm. ¹⁶⁴).
99. ¹⁶⁹)

    Alexandria	liegt	29° 33′ 27″	östl.	v.	Gr.
    Frauenburg	„	19° 40′ 07″,5	„	„	„
    Differenz		10° 13′ 19″,5	=	40m	53s,3	Sternzeit
    				40m	46s,6	mittlere Zeit, wofür im Texte eine Stunde steht.

100. ¹⁷⁰) Thebit Ibn Chora oder Thebit Ben Korrah auch Thabet Ebn Korra Ebn Merwan, der Sabier, lebte zur Zeit Almamums, Khalifen von Bagdad, in Harran und starb 901 n. Chr. Er war der Erste, der das siderische Jahr von dem tropischen genau unterschied, das erstere für die wahre Umlaufszeit der Sonne erklärte, und dessen Dauer auf 365,25639 Tage bestimmte, fast ganz im Einklange mit den neuesten astronomischen Bestimmungen. Vergl. Ritter’s Erdk. XI. 1844. pagg. 298 & 306, Abulfedae Tab. Mesopot. ed. Reiske. b. Büsching IV. p. 240, Abul Pharag. Hist. Dynast. p. 184. La Lande, Astr. I. No. 356. p. 123.
101. ¹⁷¹) In dem eben vorhergehenden Capitel 13 ist gesagt: Thebit ben Chora habe das Jahr bestimmt zu

     	365d 15I 23II		=	365d 6h 9m 12s
     	1II	10III		28s
     giebt	365d 15I 24II	10III		365d 6h 9m 40s

102. ¹⁷²) In einem Jahre, oder in 365^d 15^I 24^II 10^III werden zurückgelegt 360°, in einem ägyptischen Jahre, oder in 365^d werden zurückgelegt $x$°, woraus

     	$x$ =	359° 44′ 49″ 8‴ 1⁗ 37⁗′
     Copernicus hat im Text		359° 44′ 49″ 7‴ 4⁗ 37⁗′
     was sich um		57⁗ 37⁗′

     von unserm Resultate unterscheidet. Sollte das Resultat Copernicus richtig sein, so musste die Dauer des Jahres zu

     365^d 15^I 24^II 10^III 59^IV 30^V 18^VI

     angenommen werden.

103. ¹⁷³) 60 mal 359° 44′ 49″ 8‴ 1⁗ 37⁗′ geben 59° 5 $\times$ 60° + 44° 49′ 8″ 1‴ 37⁗
104. ¹⁷⁴) Buch III. Cap. 6.
105. ¹⁷⁵)

     359° 44′ 49″ 07‴ 4⁗

     50″ 12‴ 5⁗

     359° 45′ 39″ 19‴ 9⁗

106. ¹⁷⁶)

     59′ 8″ 11‴ 22⁗

     8‴ 15⁗

     59′ 8″ 19‴ 37⁗

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: 1716, 937
2. Vorlage: […] zurückgelegt „so […]
3. Vorlage: sechszig

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