Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Drittes Buch

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Zweites Buch Teil D Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879)
von Nicolaus Copernicus
Viertes Buch


[131]
Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen.
Drittes Buch.




Capitel 1.
Ueber das Vorrücken der Aequinoctien und Solstitien.

Nachdem die Erscheinung der Fixsterne dargelegt ist, müssen wir zu demjenigen übergehen, welches einem jährlichen Umlaufe unterworfen ist; und zu dem Ende wollen wir zuerst von der Veränderung der Nachtgleichen handeln, wegen derer man geglaubt hat, dass auch die Fixsterne sich bewegen. Da finden wir nun, dass die alten Mathematiker den Jahreswechsel, nämlich den natürlichen, welcher von der Nachtgleiche und der Sommerwende abhängt, von demjenigen nicht unterschieden haben, welcher von irgend einem der Fixsterne an gerechnet wird. Daher kommt es, dass sie die olympischen Jahre, welche vom heliakischen Aufgange des Sirius anfingen, für dieselben hielten, als diejenigen, welche von der Sonnenwende beginnen, indem der Unterschied der einen von den andern noch nicht erkannt war. Der Rhodier Hipparch aber, ein Mann von bewunderungswürdiger Geistesschärfe, bemerkte zuerst, dass sich dieselben von einander unterschieden, und fand, indem er die Grösse des Jahres aufmerksamer beobachtete, das auf die Fixsterne bezogene grösser, als das von den Nachtgleichen oder Sonnenwenden abhängige. Daraus schloss er, dass auch den Fixsternen eine gewisse Bewegung zukomme, die aber so langsam sei, dass sie nicht sogleich bemerkt würde. Gegenwärtig aber ist durch den Verlauf der Zeit diese Bewegung sehr auffallend geworden, so dass wir jetzt einen weit anderen Auf- und Untergang der Sternbilder und der Sterne beobachten, als die Alten angegeben haben; und die zwölf Theile der Zeichen des Thierkreises um einen ziemlich grossen Abstand von denjenigen Sternbildern zurückgewichen sind, welche ursprünglich mit ihrer Bezeichnung und Stellung übereinstimmten. Diese Bewegung wird ausserdem noch ungleichmässig gefunden, und Diejenigen, welche den Grund von dieser Ungleichmässigkeit angeben wollten, haben verschiedene Ansichten aufgestellt. Einige glaubten, [132] sie bestehe in einem gewissen Schwanken der schwebenden Welt, wie man bei den Planeten auch ein solches Schwanken um ihre Breiten wahrnimmt; sie werde deshalb einst um ebenso viel wieder zurückgehen, um wieviel sie von gewissen Grenzen aus vorgeschritten wäre, und ihre Abweichung nach beiden Seiten betrage, von ihrer Mitte gerechnet, nicht mehr als 8 Grade. Aber diese jetzt veraltete Ansicht konnte hauptsächlich deshalb nicht bestehen, weil es schon hinreichend feststeht, dass der Kopf des Sternbildes Widder von dem Frühlingsnachtgleichenpunkte um mehr als dreimal 8 Grade abweicht, und dies bei den andern Sternen sich ebenso verhält, während inzwischen so viele Jahrhunderte hindurch keine Spur eines Zurückgehens bemerkt ist. Andere sind der Meinung gewesen, dass die Sphäre der Fixsterne mit ungleichmässiger Bewegung vorschreite, haben aber kein bestimmtes Maass angegeben. Dazu kam noch überdies ein anderes Naturräthsel, dass nämlich, wie wir schon gesagt haben, die Schiefe der Ekliptik uns nicht mehr so gross erscheint, als dem Ptolemäus, weshalb Einige eine neunte, Andere eine zehnte Sphäre in der Hoffnung ersannen, dadurch die Ursache zu finden; dennoch konnten sie das Versprochene nicht leisten und schon sollte noch eine elfte Sphäre hinzukommen Diese Zahl von Sphären werden wir aber bei einer Bewegung der Erde leicht als überflüssig beseitigen. Wie wir schon im ersten Buche[1] zum Theil auseinandergesetzt haben, sind nämlich die beiden Bewegungen, der jährlichen Declination und des Mittelpunktes der Erde, nicht völlig gleich, und zwar übertrifft die rückläufige Bewegung der Declination, den Umlauf des Mittelpunktes um ein Geringes. Daraus muss nothwendig folgen, dass die Nachtgleichen und Sonnenwenden, zurückzuweichen scheinen; nicht weil die Sphäre der Fixsterne vorwärts, sondern vielmehr weil der Aequator, der wegen der Neigung der Erdaxe gegen die Ebene der Ekliptik selbst geneigt ist, rückwärts fortrückt. Es erscheint nämlich in Rücksicht auf das Grössere und Kleinere, angemessener, dass man sagt, der Aequator sei gegen die Ekliptik, als die Ekliptik sei gegen den Aequator geneigt. Die Ekliptik, welche durch die Entfernung der Sonne von der Erde im jährlichen Umlaufe beschrieben wird, ist nämlich viel grösser, als der Aequator, welcher, wie gesagt, durch die tägliche Bewegung der Erde um ihre Axe bestimmt wird. In dieser Weise sieht man jene Schnittpunkte der Nachtgleichen, mit der ganzen Neigung der Ekliptik im Laufe der Zeit vorrücken, die Sterne aber zurückweichen. Das Maass dieser Bewegung aber, und das Verhältniss der Ungleichmässigkeit, war den Alten so sehr verborgen, dass man nicht wusste, wie viel bis dahin die Bewegung betragen habe, und zwar wegen ihrer nicht abzuwartenden Langsamkeit, da sie seit so vielen Jahrhunderten, in denen sie anfangs den Sterblichen unbekannt geblieben war, kaum den fünfzehnten Theil des Kreises zurückgelegt hat. Nichts desto weniger werden wir, nach dem, was uns die Geschichte der Beobachtungen davon überliefert hat, dieselbe, so weit wir dies vermögen, bestimmen.

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Capitel 2.
Geschichte der Beobachtungen, welche beweisen, dass das Vorrücken der Nachtgleichen und Sonnenwenden ungleichförmig sei.

In der ersten 76jährigen Periode des Callippus, im 36sten Jahre derselben, welches das 30ste Jahr seit dem Tode Alexander’s[2] war, verzeichnete der Alexandriner Timochares[3], der sich zuerst um die Oerter der Fixsterne bekümmerte, dass die Spica, welche die Jungfrau hält, um 82⅓° vom Sonnenwendepunkte abstehe und eine südliche Breite von 2° habe: und dass dem Sterne, welcher von den dreien in der Stirn des Scorpiones der nördlichste, und in der Ordnung der Bildung dieses Sternbildes der erste ist, eine Breite von 1⅓° und eine Länge von 32° von dem Herbstnachtgleichenpunkte zukomme. Und im 48sten Jahre[4] derselben Periode fand er die Länge der Spica der Jungfrau zu 82½° von der Sommersonnenwende, während die Breite dieselbe geblieben war. Hipparch aber fand im 50sten Jahre der dritten Callippischen Periode, also im Jahre 196 nach Alexander[5], den Stern, welcher in der Brust des Löwen Regulus genannt wird, vom Sommersonnenwendepunkte 29½° und ⅓° abstehend. Darauf gab der römische Geometer Menelaus im ersten Jahre des Kaisers Trajan, welches das 99ste nach Christo, und das 422ste nach Alexanders Tode war, den Abstand der Spica der Jungfrau zu 86¼° Länge an; den Stern in der Stirn des Scorpion’s aber zu 36° weniger 1/12° vom Herbstnachtgleichenpunkte. Diesem folgte Ptolemäus, im zweiten Jahre des Antoninus Pius, welches das 462ste Jahr nach Alexanders Tode[6] war; er behauptet, die Länge des Regulus im Löwen zu 32½° vom Sonnenwendepunkte, die der Spica zu 86⅔°, und die des Sternes in der Stirn des Scorpions zu 36⅓° vom Herbstäquinoctium erhalten zu haben, während sich die Breite nicht im Geringsten geändert hatte, wie sie oben in dem Verzeichnisse gegeben ist. Und diese Angaben, wie sie von Jenen überliefert sind, haben wir von Neuem untersucht. Nach einer geraumen Zeit nämlich im Jahre 1202 nach Alexanders Tode[7], folgt die Beobachtung des Mahometus Aracensis[8], dem man am meisten vertrauen darf, und in diesem Jahre zeigte sich, dass Regulus oder Basiliscus des Löwen bis 44° 5′ vom Sonnenwendepunkte, und jener in der Stirn des Scorpion’s bis 47° 50′ vom Herbstnachtgleichenpunkte gekommen waren. Bei allen diesen blieb die Breite jedes Sternes dieselbe, so dass man hierüber keinen Zweifel mehr hegt. Auch wir haben im Jahre Christi 1525, dem ersten nach einem Schaltjahre römischer Zeitrechnung, welches von dem Tode Alexanders um 1849 ägyptische Jahre[9] absteht, in Frauenburg in Preussen, die oft genannte Spica beobachtet, und schien ihre grösste Höhe im Meridiankreise nahezu 27° zu sein. Die Breite aber von Frauenburg haben wir zu 54° 19½′[10] gefunden. Daraus ergiebt sich die Declination jener zu 8° 40′[11] vom Aequator. Hiernach wird ihr Ort, wie folgt, festgestellt. Wir beschreiben den Meridiankreis durch die beiden Pole der Ekliptik und des

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Aequators , und in demselben liegen die gemeinschaftlichen Schnittkanten und Durchmesser: für den Aequator , und für die Ekliptik ; der Letzteren nördlicher Pol sei , und ihre Axe . Nun sei der Anfang des Steinbocks, der des Krebses, der Bogen gleich der zwei Grade betragenden südlichen Breite des Sternes, und durch parallel mit gezogen. Diese Linie schneide die Axe der Ekliptik in , und den Aequator in . Ebenso nehme man den Bogen gemäss der südlichen Declination des Sternes zu 8° 40′, und ziehe durch parallel mit die Linie ; diese schneidet die mit der Ekliptik parallel gezogene Linie , und zwar mag dies in geschehen. Das Loth wird gleich sein der Hälfte der Sehne der doppelten Declination . Die Kreise aber, deren Durchmesser , und sind, stehen senkrecht auf der Ebene , und ihre gemeinschaftlichen Schnittkanten stehen, nach dem 19ten Satze des elften Buches der Elemente Euklid’s, in den Punkten und senkrecht auf derselben Ebene, und sind nach dem 6ten Satze desselben Buches, einander parallel. Und da der Mittelpunkt des Kreises ist, dessen Durchmesser : so ist gleich der Hälfte der Sehne des doppelten Bogens in dem Kreise vom Durchmesser , welcher demjenigen entspricht, um welchen der Stern vom Anfange der Wage, seiner Länge, welche wir suchen, gemäss absteht. Diese Länge wird aber auf folgende Weise gefunden: Die Winkel und sind als correspondirende Winkel einander gleich, und ist ein Rechter. Deswegen verhält sich zu , wie die Hälften der Sehnen der doppelten zu und wie die Hälften der Sehnen der doppelten zu , weil sie ein mit ähnliches Dreieck bilden. Aber ist 23° 281/2′, die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens beträgt 39832 solcher Theile, von denen 100000 enthält; und ist 25° 281/2′, die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens beträgt 43010; und ist die Hälfte der Sehne der doppelten Declination = 15069. Hieraus folgt, dass die ganze Linie 107978 und 37831 und der Rest 70147 Theile beträgt. Die Linie enthält aber 99939 Theile, von denen 100000 enthält, also misst der Rest 29892. Insofern aber als der Halbmesser 100000 ist, wird 29810 und diesem entspricht nahezu ein Bogen von 17° 21′, um welchen die Spica der Jungfrau vom Anfange der Wage abstand, und dies war der Ort dieses Sternes. Vor zehn Jahren, also im Jahre 1515 haben wir gefunden, dass sie um 8° 36′ declinire, und ihr Ort in 17° 14′ der Wage sei. Ptolemäus aber berichtet, dass sie nur um einen halben Grad declinirt habe, und dass also ihr Ort 26° 40′ der Jungfrau gewesen sei, was nach der Vergleichung mit den früheren Beobachtungen zuverlässig zu sein scheint. Hieraus scheint sich hinreichend sicher zu ergeben, dass in der ganzen Zeit von Timochares bis Ptolemäus in 432 Jahren die Nachtgleichen und Sonnenwenden durch ein Vorrücken von einem Grade in je hundert Jahren

[135] sich geändert haben, so dass ihr Fortschreiten immer im Verhäitnisse der Zeit zur Länge stand und dies betrug im Ganzen 4⅓°. Auch nach der Vergleichung der Sonnenwende mit dem Basiliscus des Löwen, hat das Vorrücken seit Hipparch bis Ptolemäus in 266 Jahren 2⅔° betragen, so dass auch hier durch die Vergleichung mit der Zeit, ein Vorrücken um einen Grad in je 100 Jahren gefunden wird. Vergleicht man ferner den ersten Stern in der Stirn des Scorpion’s bei Albategnius und bei Menelaus: so scheinen, da in 782 mittleren Jahren 11° 55′ durchlaufen wurden, auf einen Grad nicht 100 sondern 66 Jahre zu kommen. Aber von Ptolemäus an in 741 Jahren kommen nur 65 Jahre auf einen Grad. Nimmt man endlich den übrigen Zeitraum von 645 Jahren mit der Differenz von 9° 11′ unserer Beobachtung zusammen: so kommen auf einen Grad 71 Jahre. Hieraus geht hervor, dass die Präcession der Nachtgleichen in jenen 400 Jahren vor Ptolemäus langsamer gewesen sei, als von Ptolemäus bis Albategnius, und diese wieder geschwinder, als von Albategnius bis auf unsere Zeit. Auch in der Bewegung der Schiefe findet sich ein Unterschied. Denn der Samier Aristarch[12] giebt die Schiefe der Ekliptik gegen den Aequator ebenso wie Ptolemäus[13] zu 23° 51′ 20″ an. Albategnius zu 23° 26′[14] Der Spanier Arzachel[15] 190 Jahre später zu 23° 34′. Und der Jude Prophatius[16] 230 Jahre nachher zu ungefähr 2′ geringer. Zu unsern Zeiten wird sie nicht grösser als 23° 28½′[17] gefunden. So dass hieraus sich ergiebt, dass die Bewegung von Aristarch bis Ptolemäus am kleinsten, von Ptolemäus bis Albategnius aber am grössten gewesen ist.[18]

Capitel 3.
Hypothesen, aus denen die Veränderung der Nachtgleichen, der Schiefe der Ekliptik und des Aequators abgeleitet wird.

Dass also die Nachtgleichen und Sonnenwenden mit ungleichförmiger Geschwindigkeit sich ändern, scheint aus dem Vorhergehenden klar zu sein. Es dürfte vielleicht Niemand hierfür einen besseren Grund angeben, als eine gewisse Bewegung der Erdaxe und der Pole des Aequators; und das scheint auch wirklich aus der Vorstellung von der Bewegung der Erde zu folgen; da es sicher ist, dass der Kreis, welcher durch die Mitte der Zeichen gelegt ist, ewig unveränderlich bleibt, was die sich gleich bleibenden Breiten der Fixsterne beweisen, der Aequator aber sich ändert; wie denn, wenn die Bewegung der Erdaxe einfach und genau mit der Bewegung des Mittelpunktes übereinstimmte, wie gesagt, durchaus kein Vorrücken der Nachtgleichen und Sonnenwenden zur Erscheinung kommen würde. Wenn dieselben aber von einander verschieden sind, und zwar um eine nicht gleichbleibende Differenz: so ist auch nothwendig, dass die Sonnenwenden und Nachtgleichen mit ungleichförmiger Geschwindigkeit gegen die Oerter der Sterne vorrücken. Auf dieselbe Weise geht die Bewegung der Declination vor sich, welche die Schiefe der Ekliptik, die jedoch richtiger dem Aequator

[136] zuzuschreiben wäre, ebenfalls ungleichförmig ändert. Deshalb müssen überhaupt zwei wechselnde, Pendelschwingungen ähnliche Bewegungen angenommen werden: indem die Pole und Kreise an einer Kugel mit einander zusammenhängen und übereinstimmen. Es wird nämlich eine Bewegung bestehen, welche die Neigung jener Kreise verändert, indem die Pole um Centriwinkel auf- und abwärts sich bewegen; eine andere, welche das Vorrücken der Sonnenwenden und Nachtgleichen vermehrt und vermindert: indem von beiden Polen eine seitliche Bewegung ausgeführt wird. Diese Bewegungen nennen wir aber Librationen, weil sie den Pendeln ähnlich auf demselben Wege, in der Mitte zwischen ihren beiden Grenzen beschleunigter, an den Grenzen selbst am langsamsten sind; wie solche häufig bei den Elongationen der Planeten vorkommen, was wir an seinem Orte betrachten werden. Sie unterscheiden sich auch in ihren Umläufen, weil die Ungleichförmigkeit der Nachtgleichen, während einer Wiederkehr der Schiefe, zweimal wiederkehrt. Wie aber bei jeder erscheinenden ungleichförmigen Bewegung, ein Mittel aufgefunden werden muss, an welchem das Verhältniss der Ungleichförmigkeit gemessen werden kann: so musste man natürlich auch hier mittlere Pole, einen mittleren Aequator, mittlere Nachtgleichen- und Sonnenwendepunkte aufsuchen, um welche die Pole und der Erdäquator, nach beiden Seiten abweichend, jene verschiedenen Bewegungen in feststehenden Grenzen, doch als gleichförmige erscheinen lassen. Jene beiden mit einander zusammentreffenden Librationen bewirken also, dass die Erdpole mit der Zeit gewisse, einem gedrehten Ringe ähnliche Linien beschreiben. Da aber dies nicht leicht mit Worten hinreichend ausgedrückt
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werden kann, zumal wenn es nur mit dem Gehör aufgefasst, und nicht zugleich mit den Augen angeschaut wird: so beschreiben wir die Ekliptik auf einer Kugel, ihr nördlicher Pol sei , der Anfang des Steinbocks , der des Krebses , der des Widders , der der Wage ; und durch die Punkte und und den Pol werde der Kreis gelegt. Die grösste Entfernung der Nordpole der Ekliptik und des Aequators sei , die kleinste : und ebenso sei der Pol im mittleren Orte, um welchen der sogenannte mittlere

[137] Aequator beschrieben werde, und und seien die mittleren Nachtgleichen, welche beide um den Punkt immer in gleicher Bewegung rückwärts, d. i. gegen die Ordnung der Zeichen an der Fixsternsphäre, und, wie gesagt, in langsamer Bewegung fortrücken. Jetzt wird man beide zusammenhängende pendelartige Bewegungen der Erdpole verstehen, die eine zwischen den Grenzen und , welche die Bewegung der Anomalie, d. h. der Ungleichheit der Declination genannt werden mag: die andere, seitlich hin und her gehende doppelt so schnell, als die vorige, welche wir die Anomalie der Nachtgleichen nennen wollen. Diese beiden in den Polen zugleich stattfindenden Bewegungen, lenken dieselben auf merkwürdige Weise ab. Setzen wir nämlich zuerst den Nordpol der Erde in : so wird der um denselben beschriebene Aequator durch dieselben Punkte und , nämlich durch die Pole des Kreises gehen; den Winkel der Schiefe aber im Verhältniss des Bogens vergrössern. Soll von diesem Anfangspunkte der Pol der Erde zur mittleren Schiefe, nämlich zu , übergehen: so gestattet die dazu kommende andere Bewegung nicht, dass derselbe grade längs fortschreite, sondern führt ihn rechtläufig auf dem Umwege durch die grösste Abweichung, welche in liegen mag, herum. In dieser Stellung wird der Schnittpunkt des wahren Aequators nicht in sein, sondern hinter diesem in liegen, und das Vorrücken der Nachtgleichen wird um das Stück vermindert. Von hier wendet sich der Pol um, und indem er rückläufig fortgeht, gelangt er durch die beiden zusammenwirkenden Bewegungen in die Mitte , und der wahre Aequator fällt in allen Punkten mit dem mittleren zusammen. Von hier weitergehend, bewegt sich der Erdpol rückwärts, trennt den wahren Aequator von dem mittleren, und vergrössert das Vorrücken der Nachtgleichen bis zur andern Grenze . Von hier sich zurückwendend, nimmt er den Nachtgleichen das, was er ihnen eben hinzugefügt hatte, bis er im Punkte angekommen, die kleinste Schiefe in demselben Punkte hervorbringt, in welchem Punkte wieder die Bewegung der Nachtgleichen und Sonnenwenden ungefähr in derselben Weise wie in am langsamsten erscheint. Zu dieser Zeit hat offenbar die Ungleichheit der Letzteren ihren Umlauf vollendet, da sie beide Extreme von der Mitte aus erreicht hat; die Bewegung der Schiefe aber hat von der grössten Declination zur kleinsten nur erst den halben Umlauf zurückgelegt. Von hier fortfahrend kommt der Pol wieder rechtläuflg zu der äussersten Grenze in , und von Neuem rückläufig, trifft er mit dem Mittleren zusammen, und nachdem er wiederum rückwärts gewendet die Grenze durchlaufen hat, vollendet er endlich, wie gesagt, die gedrehte Linie . Auf diese Weise ist klar, dass während einer Wiederkehr der Schiefe, der Erdpol zweimal die vorwärts und rückwärts liegenden Grenzen erreicht.

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Capitel 4.
Wie die wechselseitige Bewegung der Libration aus Kreisbewegungen besteht.
Dass nun diese Bewegung mit den Erscheinungen übereinstimmt, wollen wir alsbald auseinandersetzen. Man möchte aber inzwischen die Frage aufwerfen, auf welche Weise die Gleichmässigkeit jener Libration begriffen werden könne, da doch im Anfange behauptet worden, dass die Himmelsbewegung gleichmässig, oder doch aus gleichmässigen Kreisbewegungen zusammengesetzt ist; hier aber zwei Bewegungen, und jede zwischen zweien Grenzen, zu einer vereinigt zur Erscheinung kommen, wodurch nothwendig eine Ungleichmässigkeit eintreten muss. Wir geben zwar zu, dass dieselben zusammengesetzt sind, leiten sie aber folgendermaassen aus gleichmässigen ab.
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Es sei eine grade Linie, welche durch die Punkte , und in vier gleiche Theile getheilt ist; um werden die concentrischen und in derselben Ebene liegenden Kreise von den Durchmessern und beschrieben; in der Peripherie des innern Kreises wird irgendwo ein Punkt angenommen, um diesen Punkt mit dem Radius der Kreis beschrieben, welcher die grade Linie im Punkte schneidet, und der Durchmesser gezogen. Es ist zu zeigen, dass wenn die vereinigten Bewegungen der Kreise und zugleich stattfinden, der bewegliche Punkt auf der graden Linie hin und her rückt; und dies wird nachgewiesen sein, wenn eingesehen ist, dass nach entgegengesetzten Seiten und doppelt so geschwind, als sich bewegt. Der Centriwinkel im Kreise , der zugleich Peripheriewinkel im Kreise ist, schliesst in den beiden Kreisen Bogen ein, von denen doppelt so gross ist, als . Setzen wir nun den Fall, dass zu irgend einer Zeit beim Zusammenfallen der graden Linien und der bewegliche Punkt in , also auch in , und in falle: so ist der Mittelpunkt nach rechts durch fortgegangen und nach links durch den Bogen , der doppelt so gross, als ist; somit wird also von der entgegengesetzten Seite her in die Linie sich zurückbewegen, sonst nämlich wäre der Theil grösser, als sein Ganzes, was, wie ich glaube, leicht einzusehen ist. Der Punkt entfernt sich aber von dem früheren Orte um , indem er durch die gebrochene Linie , welche gleich ist, um dasjenige Stück zurückgezogen wird, um welches der Durchmesser grösser ist, als die Sehne . Und auf diese Weise wird zum Mittelpunkte fortgeführt,

[139] welcher im Berührungspunkte des Kreises mit der graden Linie liegt, weil nämlich dann rechtwinklig gegen stehen wird. Und darauf gelangt der Punkt zu der andern Grenze , von welcher aus er wieder in ähnlicher Weise zurückgeführt wird[19]. Es leuchtet also ein, dass aus zweien Kreisbewegungen, welche auf diese Weise einander entgegengesetzt sind, eine gradlinige, und aus zweien zugleich stattfindenden gleichförmigen, eine ungleichförmige Bewegung sich zusammensetze. Hieraus folgt auch noch, dass die grade Linie immer rechtwinklig gegen steht, weil diese beiden Linien in dem Halbkreise einen rechten Winkel einschliessen. Und daher ist die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens und die andere Linie die Hälfte der Sehne desjenigen doppelten Bogens, welcher von dem Quadranten nach Abzug von übrig bleibt, wobei der Kreis doppelt so gross ist, als , gemäss den Durchmessern.

Capitel 5.
Beweis für die Ungleichmässigkeit des Vorrückens der Nachtgleichen und der Schiefe.
Diese Bewegung nennen Einige, eben dieser Begründung wegen, die Bewegung in der Breite des Kreises, d. h. in seinem Durchmesser; messen jedoch ihre Periode und ihre Gleichmässigkeit in dem Bogen, ihren Betrag aber in den Sehnen. Es kann daher leicht nachgewiesen werden, dass dieselbe als eine ungleichmässige in die Erscheinung tritt, und zwar als eine beschleunigte am Mittelpunkte, und als eine langsamere an der Peripherie.
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Es sei ein Halbkreis, sein Mittelpunkt, der Durchmesser, und der Halbkreis werde im Punkte halbirt. Die Bogen und seien gleichgemacht, und von den Punkten und auf die Lothe und gefällt. Da nun das Doppelte von die Sehne des Doppelten , und das Doppelte von die Sehne des Doppelten ist: so sind also und einander gleich. Aber ist nach dem siebenten Satze des dritten Buches der Elemente Euklid’s, kleiner als , also auch kleiner als . Wegen der gleichen Bogen und werden aber und in gleichen Zeiten zurückgelegt, folglich ist die Bewegung in der Nähe des Punktes der Peripherie langsamer, als in der Nähe des Mittelpunktes . Nachdem dies bewiesen, werde in der Mittelpunkt der Erde angenommen: so dass die grade Linie rechtwinklig gegen die Ebene des Halbkreises stehe; durch die Punkte und werde vom Mittelpunkte aus der Bogen eines Kreises beschrieben, [140] und die grade Linie gezogen. Es wird also in der Pol des Halbkreises liegen, wird die gemeinschaftliche Sehne der Kreise sein, und man ziehe , , und , von denen die letzteren Beiden verlängert den Bogen in und schneiden. Da nun der Winkel ein Rechter ist: so ist ein spitzer. Deshalb ist auch die Linie länger als ; um so mehr sind in den stumpfwinkligen Dreiecken die Seite grösser als , und grösser als . Aus dem Mittelpunkte werde mit dem Radius ein Kreis beschrieben, welcher nicht, wohl aber und schneidet. Und da das Dreieck kleiner ist, als der Kreisausschnitt , das Dreieck aber grösser, als der Kreisausschnitt , und daher das Verhältniss des Dreiecks zu dem Kreisausschnitte kleiner ist, als dasjenige des Dreiecks zu dem Kreisausschnitte : so wird auch das Dreieck zum Dreiecke in einem kleineren Verhältnisse stehen, als der Kreisausschnitt zum Kreisausschnitte ; und nach dem ersten Satze des sechsten Buches der Elemente Euklid’s, verhält sich die Basis zu der Basis , wie das Dreieck zu dem Dreiecke . Das Verhältniss des Kreisausschnittes zum Kreisausschnitte ist aber wie dasjenige des Winkels zum Winkel , oder wie das des Bogens zu dem Bogen . Also steht zu in einem kleineren Verhältnisse, als zu . Wir haben aber schon bewiesen, dass grösser als sei, um so mehr wird also auch grösser sein als , welche offenbar die in gleichen Zeiträumen von den Erdpolen längs den gleichen Bogen und beschriebenen Anomalien sind, was zu beweisen war. Da jedoch der Unterschied zwischen der grössten und kleinsten Schiefe so klein ist, dass er nicht zwei Fünftel eines Grades überschreitet: so wird auch der Unterschied zwischen der krummen Linie und der graden so unmerklich, dass kein Fehler entsteht, wenn wir einfach mit der graden Linie und dem Halbkreise verfahren. Ungefähr dieselbe Bewandniss hat es mit der andern Bewegung der Pole, welche sich auf die Nachtgleichen bezieht, da auch diese nicht um einen halben Grad wächst, wie sich das weiter unten ergeben wird.
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Es sei wiederum der Kreis durch die Pole der Ekliptik und des mittleren Aequators, welchen wir den mittleren Colur des Krebses nennen können. Die Hälfte der Ekliptik sei ; die des mittleren Aequators , sie schneiden sich einander im Punkte , in welchem die mittlere Nachtgleiche liegt. Der Pol des mittleren Aequators aber sei , durch welchen ein grösster Kreis beschrieben wird, der also selbst der Colur der mittleren oder gleichen Nachtgleichen ist. Wir wollen nun, des leichteren Beweises wegen, die Libration der Nachtgleichen von der Schiefe der Ekliptik trennen, und nehmen auf dem Colur den Bogen ,

[141] um welchen der Pol des wahren Aequators von dem Pole des mittleren abweichen mag, um diesen Pol werde der Halbkreis des wahren Aequators beschrieben, welcher die Ekliptik in schneidet. Es wird also der Punkt selbst die wahre Nachtgleiche sein, welche von der mittleren um den Bogen absteht, wie dies die Gleichheit von und bedingt. Wenn wir um , als um einen Pol, den Kreis beschreiben: so sehen wir, dass der Pol des Aequators, während der Libration , als wahrer Pol nicht im Punkte bleibt, sondern durch die andere Libration um den Bogen gegen die Ekliptik sich neigt. Bleibt also die Ekliptik: so wird die wahre erscheinende Nachtgleiche durch die Versetzung des Poles verändert. Die Bewegung des Schnittpunktes des wahren Aequators wird auf ähnliche Weise um die Mitte beschleunigter, am langsamsten an den äussersten Enden, fast proportional der schon nachgewiesenen Schwankung der Pole. Was erkannt zu haben, der Mühe werth war.

Capitel 6.
Ueber die gleichförmigen Bewegungen des Vorrückens der Nachtgleichen und der Schiefe der Ekliptik.
Jede ungleichförmig erscheinende Kreisbewegung geht in vier Bestimmungen vor sich, nämlich in den äussersten Punkten, wo sie am langsamsten und wo sie am geschwindesten erscheint, und in den Zwischenpunkten, wo sie eine mittlere ist. Von dem Aufhören der Verlangsamung und dem Anfange der Beschleunigung geht sie nämlich in die mittlere über, von der mittleren steigert sie sich zur grössten Geschwindigkeit, von dieser geht sie wieder in die mittlere über, und von da kehrt sie zur anfänglichen grössten Langsamkeit zurück. Hiernach kann erkannt werden, in welchem Theile des Kreislaufes der Ort der Ungleichheit oder der Anomalie für irgend eine Zeit gewesen ist, und aus diesen Angaben wird auch die Periode der Anomalie erhalten.
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In einem geviertheilten Kreise sei der Ort der grössten Langsamkeit, der Ort für die wachsende mittlere Geschwindigkeit, der Ort, wo das Wachsthum aufhört und die Abnahme anfängt, und der Ort für die abnehmende mittlere Geschwindigkeit. Da nun, wie oben[20] gesagt ist, von Timochares bis Ptolemäus die erscheinende Bewegung des Vorrückens der Nachtgleichen gegen die übrigen Zeiten langsamer gefunden ist, und weil dieselbe eine Zeit lang gleichförmig zu sein schien, wie das die Beobachtungen des Aristyllus[21], des Hipparchus[22], des Agrippa[23] und des Menelaus[24] in der Zwischenzeit zeigen: so beweist dies, dass die erscheinende Bewegung der Nachtgleichen

[142] in der Mitte dieser Zeit schlechthin am langsamsten und im Anfange des Wachsthums gewesen ist, indem die aufhörende Abnahme, verbunden mit dem anfangenden Wachsthume, durch gegenseitige Ausgleichung bewirkte, dass während dem die Bewegung gleichförmig erschien. Deshalb ist die Beobachtung des Timochares in den letzten Theil des Kreises zu setzen; die Ptolemäische aber bezeichnete den ersten Quadranten . Weil wiederum in dem zweiten Zeiträume von Ptolemäus bis Albategnius[25] die Bewegung geschwinder gefunden wird, als in dem dritten: so zeigt dies, dass in dem zweiten Zeitraume die grösste Geschwindigkeit, d h. der Punkt durchlaufen, und die Anomalie schon zum dritten Quadranten des Kreises gekommen ist, und dass in dem dritten Zeitraume bis auf uns der Umlauf der Anomalie nahezu vollendet wird, und zu dem Anfange des Timochares zurückkehrt. Wenn wir nämlich in den 1819 Jahren, von Timochares bis auf uns, den ganzen Kreis in die gewöhnlichen 360 Grade theilen: so erhalten wir für 432 Jahre einen Bogen von 851/2°, für 742 Jahre 146° 51′, und für die übrigen 645 Jahre den übrigen Bogen von 127° 39′. Dies gewinnen wir leicht durch einfaches Ueberschlagen, wenn wir dasselbe aber durch eine eingehendere Rechnung mit den Beobachtungen genauer in Uebereinstimmung zu bringen suchen, so finden wir, dass die Bewegung der Anomalie in 1819 ägyptischen Jahren ihren vollständigen Umlauf bereits um 21° 24′ überschritten hat und dass ihre Periode nur 1717 ägyptische Jahre umfasst[26], und nach diesem Verhältnisse enthält der erste Kreisabschnitt 90° 35′, der andere 155° 34′, der dritte aber für die übrigen 543 Jahre 113° 51′. Nachdem dies feststeht, ergiebt sich auch, dass die mittlere Bewegung des Vorrückens der Nachtgleichen in denselben 1717 Jahren, in denen die ganze Ungleichheit in den früheren Zustand zurückgekehrt ist, 23° 57′[27] beträgt; denn in 1819 Jahren haben wir eine erscheinende Bewegung von ungefähr 25° 1′ gehabt; von Timochares aber an musste in den 102 Jahren, um welche die 1717 Jahre von den 1819 Jahren sich unterscheiden, die erscheinende Bewegung ungefähr 1° 4′ betragen haben, und dass sie damals noch etwas grösser gewesen sei, dürfte wahrscheinlich sein, da sie in je 100 Jahren noch mehr, als einen Grad betrug, und im Abnehmen begriffen war, indem sie noch nicht auf das Ende der Abnahme folgte. Wenn wir nun einen und ein funfzehntel Grad von 25° 1′ abziehen: so bleibt, wie gesagt für die 1717 ägyptische Jahre eine, der ungleichmässigen und erscheinenden gleichwerthige, mittlere und gleichmässige Bewegung von 23° 57′, woraus der ganze und gleiche Umlauf der Präcession der Nachtgleichen sich zu 25816[29] Jahren ergiebt, in welcher Zeit ungefähr 151/28 Umgänge der Anomalie eintreten. Diesem Verhältnisse passt sich auch die Bewegung der Schiefe an, von deren Umlaufe wir gesagt haben, dass er doppelt so lange dauere, als derjenige der Präcession der Nachtgleichen. Denn dass Ptolemäus angiebt, dass die Schiefe von 23° 51′ 20″ in den 400 Jahren vor ihm, seit Aristarch von Samos, sich gar nicht geändert habe, beweist, dass [143] sie damals ungefähr an der Grenze der grössten Schiefe gewesen ist, als nämlich auch die Präcession in ihrer langsamsten Bewegung begriffen war. Aber jetzt, während die Wiederholung derselben Langsamkeit eintritt, geht die Neigung der Axe nicht in ihren grössten, sondern in ihren kleinsten Werth über, welchen, wie gesagt, Albategnius in der Zwischenzeit zu 23° 35′ der Spanier Arzachel, 190 Jahre nach ihm, zu 23° 34′, und wiederum nach 230 Jahren der Jude Prophatius um nahe 2 Minuten kleiner findet. Was endlich unsre Zeit betrifft: so haben wir durch häufige Beobachtung seit 30 Jahren ungefähr 23° 282/5[30] gefunden, wovon Georg Purbach[31] und Johann v. Königsberg[32], welche uns kurz vorangingen, wenig abweichen. Hieraus erhellt wiederum auf das Deutlichste, dass die Aenderung der Schiefe von Ptolemäus an, in 900 Jahren grösser geworden ist, als in irgend einem andern Zeitraume. Da wir nun schon die Umlaufszeit der Anomalie der Präcession zu 1717 Jahren besitzen: so werden wir auch an derselben Zeit die halbe Periode der Schiefe haben, und also in 3434 Jahren ihre ganze Umlaufszeit. Wenn wir nun mit derselben Anzahl von 3434 Jahren in 360 Grade theilen, also mit 1717 in 180: so ergiebt sich eine jährliche Bewegung der einfachen Anomalie von 6′ 17″ 24‴ 9⁗. Dies wiederum auf 365 Tage vertheilt, giebt eine tägliche Bewegung von 1″ 2‴ 2⁗. Wenn ebenso die mittlere Bewegung der Präcession, welche 23° 57′ beträgt, auf 1717 Jahre vertheilt wird, so ergiebt sich eine jährliche Bewegung von 50″ 12‴ 5⁗ [28] und dies auf 365 Tage vertheilt, giebt eine tägliche Bewegung von 8‴ 15⁗ [33]. Damit aber die Bewegungen deutlicher vorliegen und gleich zur Hand sind, so oft es wünschenswerth ist, wollen wir Tafeln oder Verzeichnisse davon entwerfen, indem wir immer eine gleiche jährliche Bewegung addiren, während wir immer 60 Theile einer Ordnung als eine Einheit der vorangehenden Ordnung zufügen, bis zu den Graden, wenn es dahin wachsen sollte; und dies, der Bequemlichkeit wegen, bis zu 60 Jahren fortsetzen, weil sich nach 60 Jahren wieder dieselben Zahlen ergeben, nur dass man dann die Bezeichnungen der Grade, Minuten, Secunden u. s. w. ändern muss; so dass, was früher Secunden waren, nun Minuten werden u. s. w., und vermöge dieser Abkürzung kann man durch diese compendiösen Tafeln wenigstens innerhalb 3600 Jahren, mittelst doppelten Eingehens für die vorgesetzten Jahre die gleichmässigen Bewegungen finden und ablesen. Ebenso verhält es sich auch mit den Anzahlen der Tage. Wir werden überall bei der Berechnung der Himmelsbewegungen ägyptische Jahre zu Grunde legen, weil diese allein unter den bürgerlichen Jahren gleich sind; und es nöthig ist, dass das Maass mit dem Gemessenen übereinstimmt, was bei den römischen, griechischen und persischen Jahren nicht so zutrifft, bei welchen man nicht nach einer und derselben Weise, sondern je nachdem es jedem Volke beliebt hat, einschaltet. Das ägyptische Jahr führt aber keine Zweideutigkeit herbei, wiegen der bestimmten Anzahl von 365 Tagen, welche in zwölf gleiche Monate eingetheilt [144] sind, die der Reihe nach so heissen: Thoth, Phaophi, Athyr, Chiach[34], Tybi, Mechir, Phamenoth, Pharmuthi, Pachon, Payni, Epiphi, Mesori. Diese umfassen sechsmal sechzig Tage und die fünf übrigen Tage nennt man Schalttage[35]. Deshalb sind zum Berechnen der gleichmässigen Bewegungen die ägyptischen Jahre die geeignetsten, auf welche beliebige andere Jahre durch Auflösen in Tage leicht zurückgeführt werden.


[145]
GLEICHMÄSSIGE BEWEGUNG DER PRÄCESSION DER NACHTGLEICHEN VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 5° 32′ Anm.[36] Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertia Sechzig Grad Min. Secund. Tertia
01 0 0 00 50 12 31 0 0 25 56 14
02 0 0 01 40 24 32 0 0 26 46 26
03 0 0 02 30 36 33 0 0 27 36 38
0
04 0 0 03 20 48 34 0 0 28 26 50
05 0 0 04 11 00 35 0 0 29 17 02
06 0 0 05 01 12 36 0 0 30 07 15
0
07 0 0 05 51 24 37 0 0 30 57 27
08 0 0 06 41 36 38 0 0 31 47 39
09 0 0 07 31 48 39 0 0 32 37 51
0
10 0 0 08 22 00 40 0 0 33 28 03
11 0 0 09 12 12 41 0 0 34 18 15
12 0 0 10 02 25 42 0 0 35 08 27
0
13 0 0 10 52 37 43 0 0 35 58 39
14 0 0 11 42 49 44 0 0 36 48 51
15 0 0 12 33 01 45 0 0 37 39 03
0
16 0 0 13 23 13 46 0 0 38 29 15
17 0 0 14 13 25 47 0 0 39 19 27
18 0 0 15 03 37 48 0 0 40 09 40
0
19 0 0 15 53 49 49 0 0 40 59 52
20 0 0 16 44 01 50 0 0 41 50 04
21 0 0 17 34 13 51 0 0 42 40 16
0
22 0 0 18 24 25 52 0 0 43 30 28
23 0 0 19 14 37 53 0 0 44 20 40
24 0 0 20 04 50 54 0 0 45 10 52
0
25 0 0 20 55 02 55 0 0 46 01 04
26 0 0 21 45 14 56 0 0 46 51 16
27 0 0 22 35 26 57 0 0 47 41 28
0
28 0 0 23 25 38 58 0 0 48 31 40
29 0 0 24 15 50 59 0 0 49 21 52
30 0 0 25 06 02 60 0 0 50 12 05
[146]
GLEICHMÄSSIGE BEWEGUNG DER PRÄCESSION DER NACHTGLEICHEN VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 5° 32′ Anm.[36] Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertia Sechzig Grad Min. Secund. Tertia
01 0 0 0 0 08 31 0 0 0 4 15
02 0 0 0 0 16 32 0 0 0 4 24
03 0 0 0 0 24 33 0 0 0 4 32
0
04 0 0 0 0 33 34 0 0 0 4 40
05 0 0 0 0 41 35 0 0 0 4 48
06 0 0 0 0 49 36 0 0 0 4 57
0
07 0 0 0 0 57 37 0 0 0 5 05
08 0 0 0 1 06 38 0 0 0 5 13
09 0 0 0 1 14 39 0 0 0 5 21
0
10 0 0 0 1 22 40 0 0 0 5 30
11 0 0 0 1 30 41 0 0 0 5 38
12 0 0 0 1 39 42 0 0 0 5 46
0
13 0 0 0 1 47 43 0 0 0 5 54
14 0 0 0 1 55 44 0 0 0 6 03
15 0 0 0 2 03 45 0 0 0 6 11
0
16 0 0 0 2 12 46 0 0 0 6 19
17 0 0 0 2 20 47 0 0 0 6 27
18 0 0 0 2 28 48 0 0 0 6 36
0
19 0 0 0 2 36 49 0 0 0 6 44
20 0 0 0 2 45 50 0 0 0 6 52
21 0 0 0 2 53 51 0 0 0 7 00
0
22 0 0 0 3 01 52 0 0 0 7 09
23 0 0 0 3 09 53 0 0 0 7 17
24 0 0 0 3 18 54 0 0 0 7 25
0
25 0 0 0 3 26 55 0 0 0 7 33
26 0 0 0 3 34 56 0 0 0 7 42
27 0 0 0 3 42 57 0 0 0 7 50
0
28 0 0 0 3 51 58 0 0 0 7 58
29 0 0 0 3 59 59 0 0 0 8 06
30 0 0 0 4 07 60 0 0 0 8 15
[147]
BEWEGUNG DER ANOMALIE DER NACHTGLEICHEN VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 6° 45′ Anm.[36] Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertia Sechzig Grad Min. Secund. Tertia
01 0 0 06 17 24 31 0 3 14 59 28
02 0 0 12 34 48 32 0 3 21 16 52
03 0 0 48 52 12 33 0 3 27 34 16
0
04 0 0 25 09 36 34 0 3 33 51 41
05 0 0 31 27 00 35 0 3 40 09 05
06 0 0 37 44 24 36 0 3 46 26 29
0
07 0 0 44 01 49 37 0 3 52 43 53
08 0 0 50 19 13 38 0 3 59 01 17
09 0 0 56 36 36 39 0 4 05 18 42
0
10 0 0 02 54 01 40 0 4 11 36 06
11 0 0 09 11 25 41 0 4 17 53 30
12 0 0 15 28 49 42 0 4 24 10 54
0
13 0 1 21 46 13 43 0 4 30 28 18
14 0 1 28 03 38 44 0 4 36 45 42
15 0 1 34 21 02 45 0 4 43 03 06
0
16 0 1 40 38 26 46 0 4 49 20 31
17 0 1 46 55 50 47 0 4 55 37 55
18 0 1 53 13 14 48 0 5 01 55 19
0
19 0 1 59 30 38 49 0 5 08 12 43
20 0 1 05 48 03 50 0 5 14 30 07
21 0 1 12 05 27 51 0 5 20 47 31
0
22 0 1 18 22 51 52 0 5 27 04 55
23 0 2 24 40 15 53 0 5 33 22 20
24 0 2 30 57 39 54 0 5 39 39 44
0
25 0 2 37 15 03 55 0 5 45 57 08
26 0 2 43 32 27 56 0 5 52 14 32
27 0 2 49 49 52 57 0 5 58 31 56
0
28 0 2 56 07 16 58 0 6 04 49 20
29 0 3 02 24 40 59 0 6 11 06 45
30 0 3 08 42 00 60 0 6 17 24 09
[148]
BEWEGUNG DER ANOMALIE DER NACHTGLEICHEN VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 6° 45′ Anm.[36] Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertia Sechzig Grad Min. Secund. Tertia
01 0 0 0 01 02 31 0 0 0 32 03
02 0 0 0 02 04 32 0 0 0 33 05
03 0 0 0 03 06 33 0 0 0 34 07
0
04 0 0 0 04 08 34 0 0 0 35 09
05 0 0 0 05 10 35 0 0 0 36 11
06 0 0 0 06 12 36 0 0 0 37 13
0
07 0 0 0 07 14 37 0 0 0 38 15
08 0 0 0 08 16 38 0 0 0 39 17
09 0 0 0 09 18 39 0 0 0 40 19
0
10 0 0 0 10 20 40 0 0 0 41 21
11 0 0 0 11 22 41 0 0 0 42 23
12 0 0 0 12 24 42 0 0 0 43 25
0
13 0 0 0 13 26 43 0 0 0 44 27
14 0 0 0 14 28 44 0 0 0 45 29
15 0 0 0 15 30 45 0 0 0 46 31
0
16 0 0 0 16 32 46 0 0 0 47 33
17 0 0 0 17 34 47 0 0 0 48 35
18 0 0 0 18 36 48 0 0 0 49 37
0
19 0 0 0 19 38 49 0 0 0 50 39
20 0 0 0 20 40 50 0 0 0 51 41
21 0 0 0 21 42 51 0 0 0 52 43
0
22 0 0 0 22 44 52 0 0 0 53 45
23 0 0 0 23 46 53 0 0 0 54 47
24 0 0 0 24 48 54 0 0 0 55 49
0
25 0 0 0 25 50 55 0 0 0 56 51
26 0 0 0 26 52 56 0 0 0 57 53
27 0 0 0 27 54 57 0 0 0 58 55
0
28 0 0 0 28 56 58 0 0 0 59 57
29 0 0 0 29 58 59 0 0 1 00 59
30 0 0 0 31 01 60 0 0 1 02 02
[149]
Capitel 7.
Welcher der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Präcession der Nachtgleichen sei.
Nachdem so die mittleren Bewegungen auseinandergesetzt sind, ist nunmehr zu untersuchen, wie gross der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung der Nachtgleichen, oder der Durchmesser des kleinen Kreises ist, in welchem die Bewegung der Anomalie verläuft. Denn wenn dies ermittelt ist, so wird es leicht sein, beliebige andere Unterschiede dieser Bewegungen zu bestimmen. Da nun, wie oben vorgetragen ist, zwischen der ersten Beobachtung des Timochares und der des Ptolemäus im zweiten Jahre des Antoninus 432 Jahre liegen, und in dieser Zeit die mittlere Bewegung 6°[37] beträgt; die erscheinende aber 4° 20′ [38], der Unterschied beider 1° 40′ war, während die Bewegung der doppelten Anomalie 90° 35′ [39] ausmacht: so ist auch klar, dass in der Mitte dieser Zeit, wenigstens nahezu, die erscheinende Bewegung die Grenze der grössten Langsamkeit erreicht hatte, in welchem Punkte die erscheinende mit der mittleren Bewegung zusammentreffen, und die wahre und mittlere Nachtgleiche in demselben Durchschnittspunkte der Kreise liegen muss. Deshalb liegen auf beiden Seiten die Unterschiede der ungleichmässigen und gleichmässigen Bewegung, welche, wenn man Bewegung und Zeit halbirt, 5/6° betragen, und diese kommen auf die zu beiden Seiten liegenden, 45° 17½′ umfassenden Bogen des Kreises der Anomalie.[40] Da es sich aber hier um sehr kleine Bogen handelt, indem diejenigen der Ekliptik nicht anderthalb Grade erreichen, bei diesen die Sehnen den Bogen nahe gleich sind, und kaum in den Tertien einige Verschiedenheit gefunden wird, so begehen wir, die wir uns bei den Minuten beruhigen, keinen Fehler, wenn wir für die Bogen grade Linien gebrauchen.
Coppernicus 046.png
Nun sei jener Theil der Ekliptik, in welchem die mittlere Nachtgleiche in liegt; um diese, als Pol genommen, werde der Halbkreis beschrieben, welcher die Ekliptik in den Punkten und schneidet; vom Pole der Ekliptik her werde gezogen, welche Linie auch den beschriebenen Halbkreis in halbirt, wo die äusserste Grenze der Langsamkeit und der Anfang der Beschleunigung liegen mag. In dem Quadranten werde gleich 45° 17½′ angenommen, und durch den Punkt vom Pole der Ekliptik her gezogen, und es sei = 50′. Es wird verlangt, hieraus den ganzen Unterschied zu finden. Nun ist aber klar, dass das Doppelte von die Sehne des doppelten Bogens von ist. Da = 7107 sich zu = 10000 verhält wie = 50′ zu = 70′: so ergiebt sich = 1° 10′, und so gross ist der grösste Unterschied zwischen der [150] mittleren und der erscheinenden Bewegung der Nachtgleichen, welche wir suchten, und daraus folgt, dass die grösste Ablenkung der Pole = 28′ ist.[41]
Coppernicus 047.png
Nachdem dies so bestimmt ist, sei ein Bogen der Ekliptik, der mittlere Aequator, und der mittlere Schnittpunkt der erscheinenden Nachtgleichen, sei es des Widders oder der Wage, und durch die Pole des Bogens liege . Auf aber werden zu beiden Seiten gleiche Bogen und zu 1° 10′[42] genommen, so dass der ganze Bogen 2° 20′ beträgt. Ferner mögen zwei Bogen der erscheinenden Aequatoren und unter rechten Winkeln gegen und dessen Verlängerung beschrieben werden. Ich sage aber unter rechten Winkeln, während doch die Pole der Bogen und öfters ausserhalb des Kreises liegen, indem die seitliche Bewegung der Declination dazu kommt, wie dies bei der Hypothese[43] gezeigt ist: aber wegen des sehr mässigen Abstandes, welcher, wenn er am grössten wird, nicht den 350sten[44] Theil eines Rechten überschreitet, so nehmen wir jene für die Anschauung als rechte Winkel, denn es wird dadurch kein Fehler zum Vorschein kommen. Da also in dem Dreiecke der Winkel zu 66° 20′ gegeben ist, weil die Ergänzung zum Rechten, 23° 40′ der Winkel der mittleren Schiefe der Ekliptik ist, und Winkel ein Rechter. Winkel fast gleich und Seite 70′[45] ist: so ist also auch der Bogen , um welchen die Pole des mittleren und des erscheinenden Aequators von einander abstehen zu 28′[46] gegeben. Ebenso sind in dem Dreiecke die beiden Winkel und , den beiden und gleich, die Seite gleich der Seite ; folglich wird auch gleich gleich 28′[47] sein. Denn es wird sich zu verhalten, wie zu , und die Bewegungen sowohl der Pole als auch der Schnittpunkte werden ähnlich sein.


Capitel 8.
Ueber die einzelnen Unterschiede dieser Bewegungen nebst Erklärung
ihres Verzeichnisses.

Wenn also = 70′ (in der ersten Figur des vorhergehenden Capitels) gegeben ist, welcher Bogen in seiner Länge von seiner Sehne nicht unterschieden zu sein scheint: so ist es nicht schwer, beliebige andere einzelne Unterschiede für die mittleren und erscheinenden Bewegungen zu ermitteln, welche die Griechen Prosthaphäresen (Vorwegnahmen), die Neueren: Gleichungen nennen, durch deren Wegnahme oder Hinzufügung die [151] Erscheinungen berechnet werden. Wir werden uns des griechischen Wortes als des geeigneteren bedienen. Wenn nun 3° betrüge: so erhielten wir aus dem Verhältnisse von zu der Sehne , die Prostaphärese = 4′[48]. Wenn der Bogen 6° ist, 7′[49], wenn 9°, 11′[50] und so weiter. Bei der Aenderung der Schiefe glauben wir in ähnlicher Weise verfahren zu müssen, wo der Unterschied zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, wie gesagt[51], gleich 24′ gefunden ist, welche unter dem Halbkreise der einfachen Anomalie in 1717 Jahren zurückgelegt werden. Der mittlere Werth unter dem Quadranten des Kreises beträgt 12′, und der Pol des kleinen Kreises dieser Anomalie gehört der mittleren Schiefe von 23° 40′ an. Und in dieser Weise werden wir, wie gesagt, die übrigen Theile des Unterschiedes, den vorhin angegebenen ungefähr proportional ableiten, wie dies in dem nachfolgenden Verzeichnisse enthalten ist. Obgleich nun die erscheinenden Bewegungen in verschiedenen Weisen nach diesen Ableitungen zusammengesetzt werden können: so gefiel uns doch diejenige Art am meisten, nach welcher jede einzelne Prosthaphärese für sich erhalten wird, wodurch die Berechnung dieser Bewegungen für das Verständniss leichter wird, und mit den dargelegten Entwickelungen mehr übereinstimmt. Wir haben daher eine Tafel von 60 Zeilen angefertigt, welche nach je 3 Graden des Kreises fortschreitet. So wird sie nämlich weder eine ausgedehnte Weitläufigkeit noch eine zu gedrängte Kürze zu haben scheinen; wie wir denn so in den spätern ähnlichen Tafeln auch verfahren wollen. Die gegenwärtige hat nur vier Rubriken, von denen die beiden ersten die Grade jedes der beiden Halbkreise enthalten, die wir die gemeinschaftlichen Zahlen nennen, weil durch die einfache Zahl die Schiefe der Ekliptik erhalten wird, und die verdoppelte zur Prosthaphärese der Nachtgleichen dient, deren Anfang vom Beginne des Wachsthumes genommen ist. In der dritten Rubrik sind die Prosthaphäresen der Nachtgleichen aufgestellt, welche den einzelnen Dreigradigkeiten entsprechen, und zu der mittleren Bewegung, die wir von dem ersten Sterne des Widderkopfes gegen den Frühlingsnachtgleichenpunkt hin anfangen, entweder zu addiren oder davon abzuziehen sind. Die abzuziehenden Prosthaphäresen entsprechen dem kleinen Halbkreise der Anomalie,[52] oder der ersten Rubrik, die zuzufügenden der zweiten Rubrik, und dem folgenden Halbkreise. In der letzten Rubrik endlich stehen die Minuten, welche die Proportional-Minuten der Schiefe genannt sind, und höchstens auf 60 steigen, indem wir anstatt der grössten und kleinsten Abweichung der Schiefe von 24′, 60′ setzen, woraus wir nach Verhältniss der übrigen Abweichungen die Theile des ähnlichen Verhältnisses berechnen, und deshalb zu Anfang und zu Ende der Anomalie 60 setzen. Wo aber die Abweichung auf 22′ steigt, wie bei der Anomalie von 33°, setzen wir an ihre Stelle 55[53], ebenso für 20′, 50 wie bei der Anomalie von 48°[54] und nach dieser Weise weiter, wie dies im nachfolgenden Schema ersichtlich ist.

[152]
TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DES AEQUATORS UND DER SCHIEFE DER EKLIPTIK.
Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphäresen des Aequators Proportional-Minuten der Schiefe Wie sich 5 zu 2 verhält, so verhalten sich die Proportional- Minuten zu dem Wachsthume der Schiefe über 23° 28′ hinaus[55] Gemeinschaftliche Zahlen Prosthaphäresen des Aequators Proportional-Minuten der Schiefe
Grad Grad Grad Min. Grad Grad Grad Min.
003 357 0 04 60 093 267 1 10 28
006 354 0 07 60 096 264 1 10 27
009 351 0 11 60 099 261 1 09 25
0
012 348 0 14 59 102 258 1 09 24
015 345 0 18 59 105 255 1 08 22
018 342 0 21 59 108 252 1 07 21
0
021 339 0 25 58 111 249 1 05 19
024 336 0 28 57 114 246 1 04 18
027 333 0 32 56 117 243 1 02 16
0
030 330 0 35 56 120 240 1 01 15
033 327 0 38 55 123 237 0 59 14
036 324 0 41 54 126 234 0 56 12
0
039 321 0 44 53 129 231 0 54 11
042 318 0 47 52 132 228 0 52 10
045 315 0 49 51 135 225 0 49 09
0
048 312 0 52 50 138 222 0 47 08
051 309 0 54 49 141 219 0 44 07
054 306 0 56 48 144 216 0 41 06
0
057 303 0 59 46 147 213 0 38 05
060 300 1 01 45 150 210 0 35 04
063 297 1 02 44 153 207 0 32 03
0
066 294 1 04 42 156 204 0 28 03
069 291 1 05 41 159 201 0 25 02
072 288 1 07 39 162 198 0 21 01
0
075 285 1 08 38 165 195 0 18 01
078 282 1 09 36 168 192 0 14 01
081 279 1 09 35 171 189 0 11 00
0
084 276 1 10 33 174 186 0 07 00
087 273 1 10 32 177 183 0 04 00
090 270 1 10 30 180 180 0 00 00
[153]
Capitel 9.
Ueber die Prüfung und Verbesserung dessen, was über das Vorrücken der Nachtgleichen entwickelt ist.
Da wir aber von dem Anfange des Wachsthums der ungleichmässigen Bewegung nach einer blossen Vermuthung angenommen haben, derselbe liege in der Mitte der Zeit vom 36sten Jahre der ersten Callippischen Periode bis zum zweiten des Antoninus; und wir von dieser Mitte die Bewegung der Anomalie anfangen: so haben wir noch zu untersuchen, ob wir daran recht gethan haben, und ob dies mit den Beobachtungen übereinstimmt. Kommen wir auf jene drei beobachteten Sterne des Timochares, Ptolemäus und Albategnius zurück: so ist sicher, dass der erste Zeitraum 432, und der zweite 742 ägyptische Jahre umfasst. Die gleichmässige Bewegung war im ersten Zeitraume 6° [56], die wirkliche 4° 20′ [38], die der doppelten Anomalie 90° 35′ [57], das von der gleichmässigen Bewegung Abzuziehende betrug 1° 40′ [38]. Im zweiten Zeitraume betrug die gleichmässige Bewegung 10° 21′ [58], die wirkliche 11° 30′ [59]), die der doppelten Anomalie 155° 34′, das zu der gleichmässigen Bewegung Hinzuzufügende 1° 9′[60].
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Es sei nun, wie früher, ein Bogen der Ekliptik, und von , welches der mittlere Frühlingsnachtgleichenpunkt sein soll, als Pol genommen, werde mit dem Radius = 1° 10′ [61] der kleine Kreis beschrieben. Die gleichmässige Bewegung aber des Punktes werde nach der Seite , d. h. rückwärts genommen, und sei die westliche Grenze, an welcher die veränderliche Nachtgleiche am weitesten vorausgeeilt, und die östliche, an welcher die veränderliche Nachtgleiche am meisten zurückgeblieben ist. Von dem Pole der Ekliptik werde durch den Punkt der grösste Kreis gezogen, welcher mit der Ekliptik zusammen den kleinen Kreis in vier gleiche Theile theilt, weil sie sich wegen der Pole gegenseitig unter rechten Winkeln schneiden. Wenn nun die Bewegung in dem Halbkreise zurückbleibt, und in dem andern voreilt, so wird, wegen des Gegensatzes gegen das Vorrücken von , in die Mitte der grössten Langsamkeit der erscheinenden Nachtgleiche sein, in aber die grösste Geschwindigkeit, weil die Bewegungen sich gegenseitig nach derselben Seite hin beschleunigen. Vor und hinter mögen nun die Bogen und , je zu 45° 17½′ genommen werden, sei der erste Punkt der Anomalie zur Zeit des Timochares, der zweite zur Zeit des Ptolemäus, und der dritte zur Zeit des Albategnius, und durch diese Punkte so wie durch die Pole der Ekliptik werden , und gezogen, welche alle in dem kleinen Kreise graden Linien sehr ähnlich sind. Der Bogen wird also 90° 35′ betragen, wenn auf den Kreis 360° kommen, und dieser Bogen wird die mittlere Bewegung um = 1° 40′ verkleinern,

[154] während = 2° 20′ beträgt. Der Bogen beträgt aber 155° 34′, und beschleunigt um = 1° 9′, und der Rest = 113° 51′ beschleunigt um = 31′, wenn = 70′. Da aber der ganze Bogen = 200° 51½′ ist, so ist auch = 20° 51½′ als Ueberschuss über den Halbkreis, folglich ist auch , als Sehne im Kreise, nach dem Verzeichnisse 356, wenn = 1000; ist also = 70′ so ist nahe = 24′ und = 50′. Also die ganze Linie ist 74′ und der Rest = 26′. Im Vorhergehenden war aber =1° 9′ und der Rest = 31′; es fehlen hier 5′, welche dort zu viel sind. Es ist also der Kreis zurückzudrehen, bis die Ausgleichung auf beiden Seiten stattfindet. Dies wird aber geschehen sein, wenn wir den Bogen = 42½° nehmen, so dass auf den Rest 48° 5′ kommen. Hierdurch scheinen beide Fehler beseitigt und allem Uebrigen entsprochen. Es wird nämlich, wenn man , als die äusserste Grenze der Langsamkeit, zum Anfangspunkte nimmt, die Bewegung der Anomalie in der ersten Periode den ganzen Bogen = 311° 55′ betragen, in der zweiten = 42° 30′, in der dritten 198° 4′. Und wenn zu 70 Minuten genommen wird: so ist in der ersten Periode die zu addirende Prosthaphärese nach den vorangegangenen Entwickelungen = 52′, in der zweiten = 47½′ zu subtrahiren, in der dritten wieder zu addiren fast 21′. Der ganze Bogen umfasst also im ersten Intervall 1° 40′, der ganze im zweiten Intervall 1° 9′, was hinreichend genau mit den Beobachtungen übereinstimmt. Hieraus ergiebt sich zugleich die einfache Anomalie in der ersten Periode zu 155° 57′ 30″, in der zweiten Periode zu 21° 15′ und in der dritten Periode zu 99° 2′, was zu erklären war.[62]

Capitel 10.
Welcher der grösste Unterschied zwischen den Neigungswinkeln des Aequators und der Ekliptik sei.
Auf ähnliche Weise wollen wir das, was über die Veränderung der Schiefe der Ekliptik und des Aequators auseinandergesetzt ist, prüfen, und werden sehen, dass es sich richtig so verhalte. Wir haben nämlich im zweiten Jahre des Antoninus beim Ptolemäus die geprüfte einfache Anomalie zu 21¼° erhalten, und dabei war die grösste Schiefe 23° 51′ 20″. Von da an bis auf unsere Beobachtung sind es ungefähr 1387 Jahre, in welchen
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der Ort der einfachen Anomalie sich berechnet zu 145° 24′ [63] und zu dieser Zeit findet sich die Schiefe zu 23° 28′ und fast 2/5[64]. Hierzu nehmen wir wieder den Bogen der Ekliptik, oder für denselben wegen seiner Kleinheit eine Gerade, und über derselben den Halbkreis der einfachen Anomalie

[155] um den Pol , wie früher. Nun sei die Grenze der grössten Neigung, die der kleinsten, deren Unterschied wir untersuchen wollen. Der Bogen des kleinen Kreises, werde gleich 21° 15′ genommen, und der Rest des Quadranten wird 68° 45′ sein. Der ganze Bogen ist nach der Berechnung 145° 24′[63] und der Rest = 76° 39′ [65]. Auf den Durchmesser werden und senkrecht gefällt. Die Bogen des grössten Kreises ist aus dem Unterschiede der Schiefen von Ptolemäus bis auf uns als 22′ 56″ bekannt. Nun ist die einer Graden ähnliche Linie die Hälfte der Sehne des Doppelten , oder gleich 932 Theilen, von denen als Durchmesser 2000 enthält, und von diesen Theilen enthält auch , als die Hälfte der Sehne des Doppelten 973. Hieraus ergiebt sich die ganze = 1905 Theilen, von denen 2000 enthält. Da aber 22′ 56″ enthält: so enthält nahe 24′ [66], als die Differenz zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, welche wir gesucht haben. Hieraus geht hervor, dass die grösste Schiefe stattgefunden hat zwischen Timocharis und Ptolemäus zu vollen 23° 52′ [67], und dass sie sich jetzt der kleinsten, zu 23° 28′ [68], nähert. Und hiernach wird Alles, was die dazwischen liegenden Neigungen dieser Kreise betrifft, auf dieselbe Weise, welche wir bei der Präcession entwickelt haben, gefunden.

Capitel 11.
Ueber die Feststellung der Orte für die gleichmässigen Bewegungen der Nachtgleichen und der Anomalie.

Nachdem dies Alles so erledigt ist, bleibt noch übrig, dass wir die Orte der Bewegungen der Frühlingsnachtgleiche selbst feststellen, welche von Einigen Wurzeln genannt werden, von denen für eine jede beliebig gegebene Zeit die Rechnungen abgeleitet werden. Als äussersten Zeitpunkt stellte hierbei Ptolemäus den Anfang der Regierung Nabonassar’s, Königs der Chaldäer, fest, welchen die Meisten, getäuscht durch die Aehnlichkeit des Namens, für Nabuchodonassar gehalten haben, den aber die Zeitrechnung des Ptolemäus viel früher setzt, und dessen Zeit bei den Geschichtsschreibern mit derjenigen Salmanassars, des Königs der Chaldäer, zusammenfällt. Indem wir aber bekanntere Zeiten verfolgen, haben wir es für genügend befunden, wenn wir von der ersten Olympiade anfingen, über welche sich ergiebt, dass sie um 28 Jahre dem Nabonassar vorausgegangen ist, wobei die Sommersonnenwende den Anfang bildete, zu welcher Zeit den Griechen der Sirius (heliakisch) aufging und die olympischen Spiele gefeiert wurden, wie Censorinus und andere anerkannte Autoren angegeben haben. Nach genauerer Zeitrechnung, welche bei den Berechnungen der Himmelsbewegungen nothwendig ist, sind es von der ersten Olympiade, oder vom Mittage des ersten Tages des Monats Hekatombäon der Griechen, bis Nabonassar, oder bis zum Mittage des ersten Tages des Monats Thoth der Aegypter, 27 Jahre und 247 Tage[69]. Von da bis zu Alexanders Tode 424 [156] ägyptische Jahre, vom Tode Alexanders aber bis zum Anfange der Jahre des Julius Cäsar 278 Jahre 118½ Tage um die Mitternacht des ersten Januars, wohin Julius Cäsar den Anfang des von ihm eingeführten Jahres setzte, wozu er dasjenige Jahr wählte, in welchem er als Pontifex Maximus zum dritten Male und M. Aemilius Lepidus Consul waren. Von diesem so von Julius Cäsar bestimmten Jahre sind die folgenden, Julianische genannt, und zwar rechnen die Römer vom vierten Consulate Cäsar’s, bis auf Octavianus Augustus 18 Jahre, ebenfalls den 1sten Januar, obgleich am 17. Januar Augustus, der Sohn des Julius Cäsar Divus, nach dem Vorschlage des Munatius[70] Plancus vom Senate und den übrigen Bürgern zum Kaiser ernannt worden war, als er selbst zum siebenten Male und M. Vipsanius Consuln waren. Aber die Aegypter, welche zwei Jahre früher in die Gewalt der Römer kamen, nach dem Tode des Antoninus und der Cleopatra, haben 15 Jahre 246½ Tage am Mittage des ersten Thoth, welcher für die Römer der 30ste August war. Hiernach sind es von Augustus bis zu den Jahren Christi, welche ebenfalls mit dem Januar anfangen, nach römischer Zeitrechnung 27 Jahre, nach ägyptischer aber 29 ägyptische Jahre und 130 Tage. Von da bis zum zweiten Jahre des Antoninus, für welche Ptolemäus die von ihm beobachteten Sternörter angegeben hat, sind es 138 römische Jahre und 55 Tage, welche Jahre für die Aegypter noch 34 Tage[71] mehr liefern. Von der ersten Olympiade bis hierher sind es zusammen 913 Jahre 101 Tage[72]. In dieser Zeit beträgt das gleichmässige Vorrücken der Nachtgleichen 12° 44′, die einfache Anomalie 95° 44′. Nun war aber im zweiten Jahre des Antoninus, wie überliefert ist, die Frühlingsnachtgleiche dem ersten Sterne, im Kopfe des Widders, 6° 40′ voraus; und da damals die doppelte Anomalie 42½° betrug[73]: so war die abzuziehende Differenz zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung 48′[74]. Wenn man diese wieder zu der erscheinenden Bewegung von 6° 40′ hinzusetzt: so erhält man den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche = 7° 28′. Wenn wir hierzu die 360° eines Kreises addiren und von der Summe jene 12° 44′ abziehen: so erhalten wir für die erste Olympiade, welche bei den Atheniensern vom Mittage des ersten Hekatombäon anfing, den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche = 354° 44′, so dass dieselbe also damals dem ersten Sterne des Widders um 5° 16′ folgte. Wenn man auf gleiche Weise von 21° 15′ der einfachen Anomalie jene 95° 45′ abzieht: so bleiben für denselben Anfang der Olympiaden 285° 30′ als Ort der einfachen Anomalie. Und wenn man wiederum die Bewegungen je nach den Zeiträumen hinzufügt, und immer 360°, so oft sie überschritten werden, abzieht: so erhält man die Orte oder Wurzeln Alexanders, für die gleichmässige Bewegung 1° 2′ und für die einfache Anomalie 332° 52′. Bei Cäsar für die mittlere Bewegung 4° 55′ und für die einfache Anomalie 2° 2′. Bei Christus für den mittleren Ort 5° 32′ und für die Anomalie 6° 45′. Und so erhalten wir bei den Uebrigen für den Anfang jeder beliebigen Zeit die Wurzeln der Bewegungen.[36]

[157]
Capitel 12.
Ueber die Berechnung der Präcession der Frühlingsnachtgleiche und
der Schiefe.

Sobald man also den Ort der Frühlingsnachtgleiche erhalten will, verwandelt man, wenn die zwischen dem zum Grunde gelegten Anfange und der gegebenen Zeit liegenden Jahre ungleiche sind, wie die römischen, deren man sich gewöhnlich bedient, dieselben in gleiche oder ägyptische Jahre. Denn man wendet bei der Berechnung der gleichmässigen Bewegungen, aus dem angegebenen[75] Grunde, keine anderen als ägyptische Jahre an. Diese Anzahl Jahre theilt man, wenn sie grösser als sechzig ist, in je sechzig, und geht mit der Anzahl dieser je sechzigen in die Tafel der Bewegungen ein; indem man die erste Rubrik der Bewegung, gleichsam als überflüssig, übergeht, und von der zweiten Rubrik, als derjenigen der Grade, anfängt und, wenn sich hier eine Zahl findet, dieselbe mit sechzig multiplicirt, und mit den andern Graden, Minuten u. s. w. zusammennimmt. Hierauf geht man mit dem Reste der Jahre zum zweiten Male in die Tafel ein, und nimmt von der ersten Rubrik an, die Grade, Minuten u. s. w. wie sie dastehen. Hierbei können Theile der Tage, ja sogar ganze Tage, wegen der Langsamkeit dieser Bewegungen, füglich vernachlässigt werden, da es sich bei der täglichen Bewegung nur um Secunden und Tertien handelt. Nachdem man dies Alles zu seiner Wurzel addirt, die betreffenden Zeichen an ihre Stellen gesetzt, und immer die sechs bei je sechszig Graden, wenn sie sich ergeben, beseitigt hat: erhält man für die gegebene Zeit den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche, um welchen sie dem ersten Sterne des Widders vorausgeht, oder um welchen derselbe Stern, der Nachtgleiche folgt. In derselben Weise sucht man auch die Anomalie. Mit dieser einfachen Anomalie aber findet man in der Tafel der Prosthaphäresen[76] in der letzten Rubrik die verzeichneten Proportional-Minuten, welche man sich besonders notirt. Hierauf sucht man mit der verdoppelten Anomalie, in der dritten Rubrik derselben Tafel, die Prosthaphärese in Graden und Minuten, um welche die wahre Bewegung von der mittleren unterschieden ist. Und diese Prosthaphärese zieht man ab, wenn die doppelte Anomalie kleiner als der Halbkreis ist; wenn Letztere aber grösser als der Halbkreis ist, also mehr als 180 Grade enthält: so addirt man diese Prosthaphärese zu der mittleren Bewegung, und die Summe oder Differenz ergiebt die wahre erscheinende Bewegung der Präcession der Frühlingsnachtgleiche, oder: um wie viel sich dann der erste Stern des Widders von der Frühlingsnachtgleiche entfernt hat, welcher Abstand bei der Ermittelung des Ortes irgend eines anderen Sternes, zu der im Sternverzeichnisse stehenden Länge desselben addirt wird. Weil aber das Schwerverständliche durch Beispiele anschaulicher zu werden pflegt: so sei verlangt, für April 16 im Jahre Christi 1525 den wahren Ort der Frühlingsnachtgleiche, die Schiefe der Ekliptik und den Abstand der [158] Aehre in der Jungfrau von derselben Nachtgleiche zu finden. Es ist nun klar, dass in den 1524 römischen Jahren und 106 Tagen von dem Beginne der Jahre Christi an bis zu dieser Zeit 381 Tage eingeschaltet sind; dies ergiebt in ägyptischen Jahren 1525 Jahre 122 Tage, und das sind 25 mal sechzig und 25 Jahre, nebst 2 mal sechzig und 2 Tage. Den 25 mal sechzig Jahren entspricht aber in der Tafel der mittleren Bewegung 20° 55′ 2″, den 25 Jahren 20′ 55″, den 2 mal sechzig Tagen 16″, für die übrigen beiden Tage liegt sie in den Tertien. Dies Alles zu der Wurzel, welche 5° 32′[77] betrug, addirt, giebt als mittlere Präcession der Frühlingsnachtgleiche 26° 48′[78]. Ebenso beträgt die Bewegung der einfachen Anomalie für 25 mal sechzig Jahre, 2 mal sechzig Grad und 37° 15′ 3″; für 25 Jahre 2° 37′ 15″; für 2 mal sechzig Tage 2′ 4″ und für ebensoviel Tage 2″. Dies zu der Wurzel, welche 6° 45′ [77] betrug, addirt, giebt als einfache Anomalie 2 mal sechzig Grad und 46° 40′[79]. Nach der Letzteren notirt man sich, behufs der Untersuchung der Schiefe, aus der Tafel der Prosthaphäresen[76] die in der letzten Rubrik enthaltenen Proportional-Minuten, und findet da eine einzige. Hierauf findet man mitteltst der verdoppelten Anomalie, welche 5 mal sechzig Grad und 33° 20′ [80] beträgt, die Prosthaphärese 32′ [81], welche zu addiren ist, weil die Anomalie grösser als der Halbkreis ist; wird diese nun zu der mittleren Bewegung addirt: so kommt als wahre und erscheinende Präcession der Frühlingsnachtgleiche heraus 27° 21′[82]. Wenn man endlich hierzu 170° addirt, um welche die Aehre der Jungfrau vom ersten Sterne des Widders absteht: so erhält man ihren Abstand von der Frühlingsnachtgleiche [83], und in Folge davon 17° 21′ von der Wage, wo sie ungefähr zur Zeit unserer Beobachtung [84] stand.

Die Schiefe der Ekliptik aber und die Declinationen werden so berechnet, dass für den Fall, wo die Proportional-Minuten 60 betragen, die in dem Verzeichnisse der Declinationen[85] beigesetzten Ueberschüsse, nämlich die Differenzen zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, ihrem ganzen Werthe nach, zu den Declinationen addirt werden. Hier aber fügt die Einheit jener Proportional-Minuten nur 24″[86] der Schiefe hinzu. Deshalb bleiben die Declinationen der Theile der Ekliptik, wie sie in dem Verzeichnisse stehen, in dieser Zeit unverändert, wegen der uns schon nahen kleinsten Schiefe, während sie sich sonst merklicher ändern. Wie z. B. wenn die einfache Anomalie 90° beträgt, wie dies 880 ägyptische Jahre nach Christus der Fall war, dieser Anomalie entsprechend 25 Proportional-Minuten sich ergeben. Es verhält sich aber 60′ : 24′, der Differenz zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, wie 25′ : 10′, welche letzteren zu 28′ addirt, die wirkliche Schiefe für jene Zeit zu 23° 38′ ergeben. Wenn man dann auch die Declination für irgend einen Punkt der Ekliptik, z. B. für 3° ♉, welcher um 33° von der Nachtgleiche absteht, wissen will: so findet man in dem Verzeichnisse [85] 12° 32′, mit einer Differenz von 12′. Es verhält sich aber 60 : 25 = 12′ : 5′, welche letzteren, zu der Declination addirt, 12° 37′ für 33° der Ekliptik ergeben. In derselben Weise, wie bei den Schnittwinkeln [159] der Ekliptik und des Aequators, kann man auch bei den Rectascensionen verfahren, nur dass man bei diesen das abziehen muss, was bei jenen immer zu addiren ist, wenn man nicht die Berechnung der sphärischen Dreiecke vorzieht, um für die gegebenen Zeiten Alles genauer zu erhalten.

Capitel 13.
Ueber die Grösse und Verschiedenheit des Sonnenjahres.

Dass aber die Präcession der Nachtgleichen und der Sonnenwenden, von welcher wir gesagt haben, dass sie von der Neigung der Erdaxe herrührt, so verläuft, wird auch die jährliche Bewegung des Mittelpunktes der Erde bestätigen, welche um die Sonne vor sich geht, und von welcher wir nunmehr zu handeln haben. Es muss nämlich aus derselben ohne Zweifel hervorgehen, dass die Grösse des Jahres, wenn sie von einer Nachtgleiche oder Sonnenwende bis zur nächsten gerechnet wird, wegen der ungleichen Aenderung dieser Punkte, ungleich ausfällt, da beide von einander abhängen. Man muss daher das bürgerliche (temporalis) Jahr von dem Sternjahre (sidereus) trennen und unterscheiden. Wir nennen nämlich das Jahr das natürliche oder bürgerliche, welches uns die vier Jahreszeiten bestimmt; das Sternjahr aber dasjenige, welches auf irgend einen Fixstern zurückführt. Dass nun das natürliche Jahr, welches man auch das tropische (vertens) nennt, ungleich ist, beweisen die Beobachtungen der Alten vielfach. Denn Callippus, Aristarch von Samos und Archimedes von Syracus bestimmen, dass dasselbe ausser 365 ganzen Tagen noch einen Vierteltag enthalte; indem sie, nach der Sitte der Athenienser, den Anfang des Jahres von der Sonnenwende rechnen. Cl. Ptolemäus aber, welcher bemerkte, dass die Feststellung der Sonnenwenden schwierig und zweifelhaft sei, traute den Beobachtungen jener nicht ganz, und stützte sich lieber auf den Hipparch, welcher nicht sowohl die Sonnenwenden, als vielmehr die Nachtgleichen in Rhodos aufgezeichnet und bemerkt hatte, dass an dem vierten Theile des Tages etwas fehle. Dieses Fehlende bestimmte Ptolemäus später auf 1/300 Tag durch folgende Methode. Er legte die von Jenem zu Alexandria im Jahre 177[87] nach dem Tode Alexanders des Grossen, nach ägyptischer Zeitrechnung am dritten Schalttage um Mitternacht, auf welche der vierte Schalttag folgte, sehr genau beobachtete Herbstnachtgleiche zu Grunde. Hiermit verband Ptolemäus eine von ihm selbst zu Alexandria im 3ten Jahre des Antoninus, welches das 463ste nach Alexander’s Tode war, am 9ten Tage des 3ten ägyptischen Monats Athyr, ungefähr eine Stunde nach Sonnenaufgang, angestellte Beobachtung derselben Nachtgleiche. Zwischen dieser Beobachtung und derjenigen des Hipparch lagen 285 ägyptische Jahre 70 Tage 71/5 Stunden, während es 71 Tage 6 Stunden hätten sein müssen, wenn das tropische Jahr ausser den ganzen Tagen noch ¼ Tag enthielte. Es war also in 285 Jahren ein Tag weniger 1/20 Tag verloren gegangen. [88] [160] Daraus folgt, dass in 300 Jahren ein ganzer Tag verloren geht. Ebenso führte er auch die Ableitung von der Frühlingsnachtgleiche aus. Er gedenkt nämlich einer Notiz des Hipparch vom Jahre 178 Alexander’s den 27sten Mechir, des sechsten ägyptischen Monats, beim Aufgange der Sonne. Er selbst findet dieselbe im Jahre 463 am 7ten Pachon, des neunten ägyptischen Monats, 1 Uhr Mittags und etwas darüber; also dass in 285 Jahren ebenfalls 1 Tag weniger 1/20 Tag fehle. [89] Auf Grund dieser Thatsachen bestimmte Ptolemäus das tropische Jahr zu 365d 14 sechzigstel und 48 dreitausendsechshundertstel[90]. Hierauf hat Albategnius[91] in Rakka[92] in Syrien mit nicht geringerer Sorgfalt im Jahre 1206 nach dem Tode Alexanders die Herbstnachtgleiche beobachtet und gefunden, dass dieselbe in der auf den 7ten Pachon folgenden Nacht 72/5 Uhr, d. i. 43/5 Stunden vor Anbruch des 8ten Tages stattgefunden hat. Um diese seine Beobachtung mit derjenigen des Ptolemäus im 3ten Jahre des Antoninus, eine Stunde nach Sonnenaufgang zu Alexandria, welche Stadt 10° westlich von Rakka liegt[93], angestellten zu vergleichen; reducirte er die letztere auf seinen Meridian von Rakka, für welchen dieselbe 1⅔ Stunden nach Sonnenaufgang stattgefunden haben musste. Folglich waren in einem Zeiträume von 743 ägyptischen Jahren 178 Tage und 173/5 Stunden überschüssig[94]; während die Vierteltage sich zu 185¾ Tagen ansammeln. Da also 7 Tage und 2/5 Stunden fehlen: so scheint an dem ¼ noch 1/106 zu fehlen[95]. Er dividirte also die 7 Tage und 2/5 Stunden mit der Anzahl der Jahre 743, erhielt 13m und 36s und zog diese von ¼ Tag ab. Danach gab er an, dass das natürliche Jahr 365d 5h 46m 24s enthalte[94]. Auch wir haben die Herbstnachtgleiche in Frauenburg beobachtet, und zwar im Jahre 1515 nach Christi Geburt am 14. September, das war nach Alexanders Tode im 1840sten ägyptischen Jahre am 6ten Phaophi, eine halbe Stunde nach Sonnenaufgang [96]. Weil aber Rakka ungefähr 25°[97] östlich von unserer Gegend liegt, was 2h weniger ⅓h ausmacht: so lagen zwischen unserer und des Albategnius Nachtgleiche 633 ägyptische Jahre und 153dh anstatt 158d 6h [98]. Von jener alexandrinischen Beobachtung des Ptolemäus aber bis auf den Ort und die Zeit unserer Beobachtung sind es 1376 ägyptische Jahre 332d und ½h, denn wir stehen von Alexandria ungefähr eine Stunde[99] ab. Es fielen also seit Albategnius bis auf uns, in 633 Jahren, 5 Tage weniger 1¼ Stunde weg, also in 128 Jahren ein Tag; von Ptolemäus aber, in 1376 Jahren, ungefähr 12 Tage, also in 115 Jahren ein Tag; das Jahr hat sich also in beiden Zeiträumen ungleich ergeben. Wir haben auch die Frühlingsnachtgleiche beobachtet, welche im folgenden Jahre 1516 nach Christi Geburt 4⅓ Stunden nach Mitternacht auf den 11ten März eintrat, und es beträgt der Zeitunterschied von jener Frühlingsnachtgleiche des Ptolemäus, wenn man dieselbe vom Meridiane Alexandria’s auf den unsrigen reducirt. 1376 ägyptische Jahre 332d 16⅓h, wobei sich zugleich ergiebt, dass auch die Abstände der Frühlings- und Herbst-Nachtgleichen ungleich sind. Es ist aber gar viel daran gelegen, dass das auf diese Weise erhaltene Sonnenjahr [161] sich gleich bleibe. Dass bei den Herbstnachtgleichen zwischen Ptolemäus und uns, wie nachgewiesen, nach einer gleichmässigen Eintheilung in Jahre 1/115 an ¼ Tage fehlt, stimmt mit der von Albategnius in Rakka beobachteten Nachtgleiche um ½ Tag nicht. Auch stimmt der Unterschied von Albategnius und uns, nach welchem 1/128 an ¼ Tag fehlen muss, nicht mit dem Ptolemäus, sondern die Berechnung ergiebt gegen die Beobachtung der Nachtgleiche Jenes mehr als einen ganzen Tag zu viel, gegen diejenige des Hipparch sogar mehr als zwei Tage zu viel. Wenn man ebenso den Abstand von Ptolemäus bis Albategnius zum Grunde legt: so überschreitet die berechnete die von Hipparch beobachtete Nachtgleiche um zwei Tage. Deshalb entnimmt man richtiger die Gleichheit des Sonnenjahres den Fixsternen, was Thebites, der Sohn Chora’s,[100] zuerst entdeckt und dessen Grösse zu 365d + 15/60 + 23/3600 oder 6h 9m 12s festgestellt hat; indem er wahrscheinlich zunächst davon ausging, dass bei einem langsameren Zurückgehen der Nachtgleichen und Sonnenwenden das Jahr länger erscheint, als bei einem geschwinderen, und zwar dies in einem bestimmten Verhältnisse; was nur dann stattfinden konnte, wenn die Gleichheit in Beziehung auf die Fixsternsphäre bestand. Man hat daher in dieser Beziehung den Ptolemäus nicht zu beachten, welcher widersinnig und ungehörig glaubte, die jährliche Gleichheit der Sonne werde durch ihre Rückkehr zu irgend einem der Fixsterne gemessen, und stimme nicht besser, als wenn man dieselbe auf den Jupiter oder Saturn bezöge. Hieraus ergiebt sich nun auch die Ursache, warum vor Ptolemäus das bürgerliche Jahr länger war, weil es nach ihm durch die vergrösserte Präcession kürzer geworden ist. Es kann zwar auch beim Sternzeichen-(asteroterida) oder siderischen Jahre ein Fehler eintreten, jedoch nur ein geringer und viel kleinerer als derjenige, den wir bereits nachgewiesen haben. Und zwar dies deshalb, weil die erscheinende Bewegung des Mittelpunktes der Erde um die Sonne durch eine andere doppelte Verschiedenheit ungleich ist. Von diesen Verschiedenheiten hat die erste und einfache eine jährliche Periode, die andere, welche in dem Verändern der ersten besteht, wird nicht sogleich, sondern erst nach einem grossen Zeitraume wahrgenommen. Deshalb ist die Berechnung der jährlichen Gleichheit weder einfach noch leicht einzusehen. Denn wenn man dieselbe einfach nach dem bekannten bestimmten Abstande von einem beliebigen Fixsterne entnehmen wollte, — was mit Hülfe des Astrolabiums und des Mondes geschehen kann, wie wir das beim Basiliskus des Löwen (Buch II Cap. 14) entwickelt haben, – so würde man einen Fehler nicht ganz vermeiden, ausser wenn grade dann die Sonne, wegen der Bewegung der Erde, entweder keine Prosthaphärese, oder zufällig eine gleichnamige und gleiche für beide Zeitpunkte hätte. Wenn dies nicht zutrifft, und ein Unterschied in der Ungleichheit derselben stattfindet, so wird sich in gleichen Zeiten schlechterdings kein gleicher Umlauf ergeben. Wenn aber für beide Zeitpunkte die ganze abgeleitete Ungleichheit in der Rechnung berücksichtigt [162] wird, so wird das Resultat genau werden. Die Bestimmung der Ungleichheit selbst verlangt eine vorläufige Kenntniss der mittleren Bewegung, welche wir deshalb aufsuchen wollen. Um aber endlich zu der Lösung dieses Knotens zu kommen, haben wir überhaupt vier Ursachen der erscheinenden Ungleichheit gefunden. Die erste ist die Ungleichheit des Vorrückens der Nachtgleichen, welche wir entwickelt haben. Die zweite ist diejenige, wonach die Sonne in gleichen Zeiten ungleiche Bogen der Ekliptik zu durchlaufen scheint, und diese hat fast eine jährliche Periode. Die dritte, welche auch diese verändert, und welche wir die zweite Ungleichheit nennen werden. Die vierte endlich, welche die Sonnennähe und Sonnenferne des Mittelpunktes der Erde ändert, wie weiter unten deutlich werden wird. Von allen diesen war nur die zweite dem Ptolemäus bekannt, welche allein nicht die jährliche Ungleichheit hervorbringen konnte, sondern dieselbe vielmehr in Verbindung mit den übrigen verursacht. Um aber den Unterschied zwischen dem gleichen und dem erscheinenden Sonnenjahre zu zeigen, ist keine ganz genaue Berechnung des Jahres nothwendig, sondern es genügt, wenn wir als Grösse des Jahres 365¼ Tage in Rechnung bringen, in welcher Zeit die Bewegung der ersten Ungleichheit vollendet wird, da ja das, was beim ganzen Kreise so wenig beträgt, auf eine kleinere Grösse bezogen, völlig verschwindet. Aber behufs einer besseren und leichteren Anordnung des Vortrages wollen wir die gleichen Bewegungen des jährlichen Umlaufes des Mittelpunktes der Erde hier voranschicken, denen wir dann die Unterschiede der gleichen und der erscheinenden Bewegung in ihrer erforderlichen Darlegung hinzufügen.

Capitel 14.
Ueber die gleichmässigen, mittleren Bewegungen bei dem Kreislaufe des Mittelpunkts der Erde.

Wir haben gefunden, dass die Grösse des gleichmässigen Jahres nur um 1II und 10III grösser ist, als Thebit Ben Chora sie angegeben hat; so dass es 365d 15I 24II 10III oder 6h 9m 40s [101] enthält, und dass die zuverlässige Gleichmässigkeit desselben aus der Fixsternsphäre sich ergiebt. Wenn wir daher 360° eines Kreises mit 365d multipliciren, und das Product durch 365d 15I 24II 10III dividiren: so erhalten wir die Bewegung in einem ägyptischen Jahre als 5 × 60° + 59° 44′ 49″ 7‴ 4⁗ [102]. Und die Bewegung von 60 solchen Jahren mit Weglassung der ganzen Kreise als 50 × 60° + 44° 49′ 7″ 4‴[103]. Dividiren wir wiederum die jährliche Bewegung durch 365d: so erhalten wir die tägliche Bewegung als 59′ 8″ 11‴ 22⁗. Wenn wir hierzu die mittlere gleichmässige Präcession der Nachtgleichen addiren[104]: so erhalten wir die gleichmässige jährliche Bewegung in den bürgerlichen (temporariis) Jahren zu 5 × 60° + 59° 45′ 39″ 19‴ 9⁗ [105] und [163] die tägliche zu 59′ 8″ 19‴ 37⁗ [106]. In dieser Beziehung können wir jene Bewegung der Sonne, um einen gewöhnlichen Ausdruck zu gebrauchen, die einfache gleichmässige, diese aber die zusammengesetzte gleichmässige nennen. Wir werden dieselben in der Weise in Tafeln bringen, wie wir es bei der Präcession der Nachtgleichen gethan haben. Diesen fügen wir die gleichmässige Bewegung der Anomalie der Sonne hinzu, über welche später.

[164]
TAFEL DER EINFACHEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19. Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 5 59 44 49 07 31 5 52 09 22 39
02 5 59 29 38 14 32 5 51 54 11 46
03 5 59 14 27 21 33 5 51 39 00 53
0
04 5 58 59 16 28 34 5 51 23 50 00
05 5 58 44 05 35 35 5 51 08 39 07
06 5 58 28 54 42 36 5 50 53 28 14
0
07 5 58 13 43 49 37 5 50 38 17 21
08 5 57 58 32 56 38 5 50 23 06 28
09 5 57 43 22 03 39 5 50 07 55 35
0
10 5 57 28 11 10 40 5 49 52 44 42
11 5 57 13 00 17 41 5 49 37 33 49
12 5 56 57 49 24 42 5 49 22 22 56
0
13 5 56 42 38 31 43 5 49 07 12 03
14 5 56 27 27 38 44 5 48 52 01 10
15 5 56 12 16 46 45 5 48 36 50 18
0
16 5 55 57 05 53 46 5 48 21 39 25
17 5 55 41 55 00 47 5 48 06 28 32
18 5 55 26 44 07 48 5 47 51 17 39
0
19 5 55 11 33 14 49 5 47 36 06 46
20 5 54 56 22 21 50 5 47 20 55 53
21 5 54 41 11 28 51 5 47 05 45 00
0
22 5 54 26 00 35 52 5 46 50 34 07
23 5 54 10 49 42 53 5 46 35 23 14
24 5 53 55 38 49 54 5 46 20 12 21
0
25 5 53 40 27 56 55 5 46 05 01 28
26 5 53 25 17 03 56 5 45 49 50 35
27 5 53 10 06 10 57 5 45 34 39 42
0
28 5 52 54 55 17 58 5 45 19 28 49
29 5 52 39 44 24 59 5 45 04 17 56
30 5 52 24 33 32 60 5 44 49 07 04
[165]
TAFEL DER EINFACHEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19. Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 0 00 59 08 11 31 0 30 33 13 52
02 0 01 58 16 22 32 0 31 32 22 03
03 0 02 57 24 34 33 0 32 31 30 15
0
04 0 03 56 32 45 34 0 33 30 38 26
05 0 04 55 40 56 35 0 34 29 46 37
06 0 05 54 49 08 36 0 35 28 54 49
0
07 0 06 53 57 19 37 0 36 28 03 00
08 0 07 53 05 30 38 0 37 27 11 11
09 0 08 52 13 42 39 0 38 26 19 23
0
10 0 09 51 21 53 40 0 39 25 27 34
11 0 10 50 30 05 41 0 40 24 35 45
12 0 11 49 38 16 42 0 41 23 43 57
0
13 0 12 48 46 27 43 0 42 22 52 08
14 0 13 47 54 39 44 0 43 22 00 20
15 0 14 47 02 50 45 0 44 21 08 31
0
16 0 15 46 11 01 46 0 45 20 16 42
17 0 16 45 19 13 47 0 46 19 24 54
18 0 17 44 27 24 48 0 47 18 33 05
0
19 0 18 43 35 35 49 0 48 17 41 16
20 0 19 42 43 47 50 0 49 16 49 28
21 0 20 41 51 58 51 0 50 15 57 39
0
22 0 21 41 00 09 52 0 51 15 05 50
23 0 22 40 08 21 53 0 52 14 14 02
24 0 23 39 16 32 54 0 53 13 22 13
0
25 0 24 38 24 44 55 0 54 12 30 25
26 0 25 37 32 55 56 0 55 11 38 36
27 0 26 36 41 06 57 0 56 10 46 47
0
28 0 27 35 49 18 58 0 57 09 54 59
29 0 28 34 57 29 59 0 58 09 03 10
30 0 29 34 05 41 60 0 59 08 11 22
[166]
TAFEL DER ZUSAMMENGESETZTEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19. Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 5 59 45 39 19 31 5 52 35 18 53
02 5 59 31 18 38 32 5 52 21 58 12
03 5 59 16 57 57 33 5 52 06 37 31
0
04 5 59 02 37 16 34 5 51 52 16 51
05 5 58 48 16 35 35 5 51 38 56 10
06 5 58 33 55 54 36 5 51 23 35 29
0
07 5 58 19 35 14 37 5 51 09 14 48
08 5 58 05 14 33 38 5 50 55 54 07
09 5 57 50 53 52 39 5 50 40 33 26
0
10 5 57 36 33 11 40 5 50 26 12 46
11 5 57 22 12 30 41 5 50 11 52 05
12 5 57 07 51 49 42 5 49 57 31 24
0
13 5 56 53 31 08 43 5 49 43 10 43
14 5 56 39 10 28 44 5 49 28 50 02
15 5 56 24 49 47 45 5 49 14 29 21
0
16 5 56 10 29 06 46 5 49 00 08 40
17 5 55 56 08 25 47 5 48 45 48 00
18 5 55 41 47 44 48 5 48 31 27 19
0
19 5 55 27 27 03 49 5 48 17 06 38
20 5 55 13 06 23 50 5 48 02 45 57
21 5 54 58 45 42 51 5 47 48 25 16
0
22 5 54 44 25 01 52 5 47 34 04 35
23 5 54 30 04 20 53 5 47 19 43 54
24 5 54 15 43 39 54 5 47 05 23 14
0
25 5 54 01 22 58 55 5 46 51 02 33
26 5 53 47 02 17 56 5 46 36 41 52
27 5 53 32 41 37 57 5 46 22 21 11
0
28 5 53 18 20 56 58 5 46 08 00 30
29 5 53 04 00 15 59 5 45 53 39 49
30 5 52 48 39 34 60 5 45 39 19 09
[167]
TAFEL DER ZUSAMMENGESETZTEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19. Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 0 00 59 08 19 31 0 30 33 18 08
02 0 01 58 16 39 32 0 31 32 26 27
03 0 02 57 24 58 33 0 32 31 34 47
0
04 0 03 56 33 18 34 0 33 30 43 06
05 0 04 55 41 38 35 0 34 29 51 26
06 0 05 54 49 57 36 0 35 28 59 46
0
07 0 06 53 58 17 37 0 36 28 08 05
08 0 07 53 06 36 38 0 37 27 16 25
09 0 08 52 14 56 39 0 38 26 24 45
0
10 0 09 51 23 16 40 0 39 25 33 04
11 0 10 50 31 35 41 0 40 24 41 24
12 0 11 49 39 55 42 0 41 23 49 43
0
13 0 12 48 48 15 43 0 42 22 58 03
14 0 13 47 56 34 44 0 43 22 06 23
15 0 14 47 04 54 45 0 44 21 14 42
0
16 0 15 46 13 13 46 0 45 20 23 02
17 0 16 45 21 33 47 0 46 19 31 21
18 0 17 44 29 53 48 0 47 18 39 41
0
19 0 18 43 38 12 49 0 48 17 48 01
20 0 19 42 46 32 50 0 49 16 56 20
21 0 20 41 54 51 51 0 50 15 04 40
0
22 0 21 41 03 11 52 0 51 15 13 00
23 0 22 40 11 31 53 0 52 14 21 19
24 0 23 39 19 50 54 0 53 13 29 39
0
25 0 24 38 28 10 55 0 54 12 37 58
26 0 25 37 36 30 56 0 55 11 46 18
27 0 26 36 44 49 57 0 56 10 54 38
0
28 0 27 35 53 09 58 0 57 10 02 57
29 0 28 35 01 28 59 0 58 09 11 17
30 0 29 34 09 48 60 0 59 08 19 37
[168]
TAFEL DER GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER ANOMALIE DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.
Aegyptische Jahre Bewegung Ort Christi 211° 19′ Aegyptische Jahre Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 5 59 44 24 46 31 5 51 56 48 11
02 5 59 28 49 33 32 5 51 41 12 58
03 5 59 13 14 20 33 5 51 25 37 45
0
04 5 58 57 39 07 34 5 51 10 02 32
05 5 58 42 03 54 35 5 50 54 27 19
06 5 58 26 28 41 36 5 50 38 52 06
0
07 5 58 10 53 27 37 5 50 23 16 52
08 5 57 55 18 14 38 5 50 07 41 39
09 5 57 39 43 01 39 5 49 52 06 26
0
10 5 57 24 07 48 40 5 49 36 31 13
11 5 57 08 32 35 41 5 49 20 56 00
12 5 56 52 57 22 42 5 49 05 20 47
0
13 5 56 37 22 08 43 5 48 49 45 33
14 5 56 21 46 55 44 5 48 34 10 20
15 5 56 06 11 42 45 5 48 18 35 07
0
16 5 55 50 36 29 46 5 48 02 59 54
17 5 55 35 01 16 47 5 47 47 24 41
18 5 55 19 26 03 48 5 47 31 49 28
0
19 5 55 03 50 49 49 5 47 16 14 14
20 5 54 48 15 36 50 5 47 00 39 01
21 5 54 32 40 23 51 5 46 45 03 48
0
22 5 54 17 05 10 52 5 46 29 28 35
23 5 54 01 29 57 53 5 46 13 53 22
24 5 53 45 54 44 54 5 45 58 18 09
0
25 5 53 30 19 30 55 5 45 42 42 55
26 5 53 14 44 17 56 5 45 26 07 42
27 5 52 59 09 04 57 5 45 11 32 29
0
28 5 52 43 33 51 58 5 44 55 57 16
29 5 52 27 58 38 59 5 44 40 22 03
30 5 52 12 23 25 60 5 44 24 46 50
[169]
TAFEL DER GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER ANOMALIE DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.
Tage Bewegung Ort Christi 211° 19′ Tage Bewegung
Sechzig Grad Min. Secund. Tertien Sechzig Grad Min. Secund. Tertien
01 0 00 59 08 07 31 0 30 33 11 48
02 0 01 58 16 14 32 0 31 32 19 55
03 0 02 57 24 22 33 0 32 31 28 03
0
04 0 03 56 32 29 34 0 33 30 36 10
05 0 04 55 40 36 35 0 34 29 44 17
06 0 05 54 48 44 36 0 35 28 52 25
0
07 0 06 53 56 51 37 0 36 28 00 32
08 0 07 53 04 58 38 0 37 27 08 39
09 0 08 52 13 06 39 0 38 26 16 47
0
10 0 09 51 21 13 40 0 39 25 24 54
11 0 10 50 29 21 41 0 40 24 33 02
12 0 11 49 37 28 42 0 41 23 41 08
0
13 0 12 48 45 35 43 0 42 22 49 16
14 0 13 47 53 43 44 0 43 21 57 24
15 0 14 47 01 50 45 0 44 21 05 31
0
16 0 15 46 09 57 46 0 45 20 13 38
17 0 16 45 18 05 47 0 46 19 21 46
18 0 17 44 26 12 48 0 47 18 29 53
0
19 0 18 43 34 19 49 0 48 17 38 00
20 0 19 42 42 27 50 0 49 16 46 08
21 0 20 41 50 34 51 0 50 15 54 15
0
22 0 21 40 58 42 52 0 51 15 02 23
23 0 22 40 06 49 53 0 52 14 10 30
24 0 23 39 14 56 54 0 53 13 18 37
0
25 0 24 38 23 04 55 0 54 12 26 45
26 0 25 37 31 11 56 0 55 11 34 52
27 0 26 36 39 18 57 0 56 10 42 59
0
28 0 27 35 47 26 58 0 57 09 51 07
29 0 28 34 55 33 59 0 58 08 59 14
30 0 29 34 03 41 60 0 59 08 07 22
[170]
Capitel 15.
Voruntersuchungen zur Entwicklung der Ungleichmässigkeit in der erscheinenden Bewegung der Sonne.
Um in die erscheinende Ungleichmässigkeit der Sonne mehr einzudringen, wollen wir noch deutlicher nachweisen, dass, – während die Erde die in der Mitte der Welt stehende Sonne, wie einen Mittelpunkt umkreist und die Entfernung zwischen Sonne und Erde, wie gesagt, im Vergleich zur Unermesslichkeit der Fixsternsphäre, verschwindend klein ist: – die Sonne in Bezug auf irgend einen Punkt oder auf einen Stern derselben Sphäre in der Ekliptik sich ebenso zu bewegen scheint.
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Es sei nämlich ein grösster Kreis in der Ebene der Ekliptik, sein Mittelpunkt , und in diesem stehe die Sonne. Mit der Entfernung der Sonne von der Erde , in Vergleich zu welcher die Ausdehnung der Welt unermesslich ist, werde der Kreis in derselben Ebene der Ekliptik beschrieben, in welchem die jährliche Bewegung des Mittelpunktes der Erde vor sich gehen soll. Ich behaupte, dass in Bezug auf irgend einen in dem Kreise angenommenen Punkt oder auf einen Stern der Ekliptik, die Sonne sich ebenso zu bewegen scheine. Angenommen, die Sonne werde von der Erde, die sich in befinde, in der Richtung in gesehen. Die Erde bewege sich irgend wie durch den Bogen und von dem Punkte werden und gezogen. Die Sonne erscheint nun von aus gesehen in dem Punkte . Weil aber gegen unendlich gross ist: so ist, da gleich , auch gegen unendlich gross. Wir nehmen in irgend einen Punkt an, und ziehen . Da nun die von den Endpunkten der Basis nach dem Punkte gezogenen beiden graden Linien ausserhalb des Dreiecks fallen: so ist nach der Umkehrung des 21sten Satzes des ersten Buches von Euklid’s Elementen, der Winkel kleiner als der Winkel . Deshalb schliessen die in’s Unendliche ausgedehnten Linien endlich einen so spitzen Winkel ein, dass er nicht mehr wahrgenommen werden kann; und um diesen Winkel ist der Winkel grösser als der Winkel . Wegen dieses so unbedeutenden Unterschiedes erscheinen diese Winkel als gleich, und die Linie und als parallel; folglich scheint die Sonne in Beziehung auf einen beliebigen Punkt der Fixsternsphäre sich ebenso zu bewegen, als wenn sie um den Mittelpunkt kreiste, was zu beweisen war. Ihre Ungleichmässigkeit aber wird daraus nachgewiesen, dass die Bewegung des Mittelpunktes der Erde und sein jährlicher Kreislauf nicht genau um den Mittelpunkt [171] der Sonne vor sich geht. Dies kann sehr wohl auf zwei Weisen vorgestellt werden, entweder durch einen excentrischen Kreis, d. h. dessen Mittelpunkt nicht derjenige der Sonne ist, oder durch einen Epicykel, bei welchem die Sonne im Mittelpunkte des Hauptkreises selber steht. Aus dem excentrischen Kreise erklärt sich dies folgendermassen.
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Sei ein excentrischer Kreis in der Ebene der Ekliptik, sein Mittelpunkt liege um einen nicht sehr kleinen Abstand ausserhalb des Mittelpunkts der Sonne und der Welt, welcher sei, der Durchmesser durch beide Mittelpunkte sei , das Apogeum, welches von den Lateinern summa absis genannt wird, liege in , als in dem vom Mittelpunkte der Welt entferntesten Orte; dagegen sei das Perigeum, welches infima absis heisst und der dem Mittelpunkte der Welt nächste Ort ist. Wenn sich nun die Erde in ihrer Bahn gleichmässig um den Mittelpunkt bewegt, so erscheint, wie gesagt, die Bewegung um ungleichmässig. Macht man die Bogen und gleich und zieht die graden Linien , , , : so sind die Winkel und , denen gleiche Bogen um den Mittelpunkt zugehören, gleich. Der Aussenwinkel ist aber grösser als der innere Winkel , und also auch grösser als der Winkel , der gleich ist. Der Aussenwinkel ist aber auch grösser, als der innere Winkel , um so mehr ist der Winkel grösser als . Jeder von beiden wird aber in gleichen Zeiten durchlaufen, weil die Bogen und einander gleich sind. Die gleichmässige Bewegung um erscheint also ungleichmässig um . Dasselbe lässt sich noch einfacher daraus einsehen, dass der Bogen von entfernter liegt als . Denn, nach dem 7ten Satze des 3ten Buches von Euklid’s Elementen, sind die Linien und grösser als und , und wie in der Optik bewiesen wird, erscheinen gleiche Grössen in der Nähe grösser als in der Ferne. Daher ist nun klar, was über den excentrischen Kreis behauptet ist.
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[Der Beweis wäre ganz derselbe, wenn die Erde in stillstände, und die Sonne in dem Kreise sich bewegte, wie beim Ptolemäus und Andern.] Dasselbe lässt sich auch durch den Epicykel erklären, bei welchem die Sonne in dem Mittelpunkt ihres Hauptkreises steht. Es sei nämlich der Hauptkreis, der Mittelpunkt der Welt, in welchem zugleich die Sonne steht, den Mittelpunkt des Epicykels in derselben Ebene, und durch beide Mittelpunkte die Linie gezogen. Das Apogeum des Epicykels sei, das Perigeum . So ist offenbar, dass eine Gleichmässigkeit in , eine [172] Ungleichmässigkeit der Erscheinung in dem Epicykel hervorbringt. Denn, wenn sich nach der Seite von , d. h. rechtläufig, der Mittelpunkt der Erde aber vom Apogeum aus rückläufig sich bewegt, so scheint sich im Perigeum mehr zu bewegen, weil beide Bewegungen sowohl von als auch von nach derselben Seite hin liegen. Im Apogeum aber scheint der Punkt langsamer zu sein, weil er sich nämlich nur mit der Differenz der beiden entgegengesetzten Bewegungen bewegt, und, wenn die Erde in angenommen wird, der gleichmässigen Bewegung vorauseilt, in aber hinter ihr zurückbleibt, und zwar in jedem von beiden Fällen um die Bogen und , wodurch also auch die Sonne sich ungleichmässig zu bewegen scheint. Alles, was durch den Epicykel geschieht, kann auf dieselbe Weise durch den excentrischen Kreis bedingt sein, welchen die Bewegung des Gestirns im Epicykel in Bezug auf den eigentlichen Mittelpunkt und in derselben Ebene gleichmässig beschreibt, und dessen excentrischer Mittelpunkt vom eigentlichen Mittelpunkte um die Grösse des Halbmessers des Epicykels absteht, und dies kann in dreierlei Weise geschehen. Wenn nämlich der Epicykel auf dem Hauptkreise, und das Gestirn in dem Epicykel gleiche Umläufe vollenden, aber die Bewegungen einander entgegengesetzt sind: so stellt ein fester excentrischer Kreis, dessen Apogeum und Perigeum unveränderliche Orte einnehmen, die Bewegungen des Gestirnes dar.
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Es sei ihr der Hauptkreis, der Mittelpunkt der Welt , der Durchmesser ; wir nehmen an, dass, während der Epicykel in wäre, das Gestirn in dem Apogeum des Epicykels, also in stände, und der Halbmesser desselben in die grade Linie fiele; nehmen vom Mittelpunkte den Bogen des Hauptkreises, und lassen in gleicher Drehung in dem Epicykel den Bogen beschreiben, legen und in eine grade Linie, nehmen den Bogen nach der entgegengesetzten Seite und ähnlich dem Bogen ab. Das Gestirn oder die Erde stehe in , wir verbinden mit , und nehmen auf der Linie den Abschnitt gleich . Weil nun die Winkel und gleich: so sind und parallel und gleich. Wenn aber grade Linien durch gleiche und parallele grade Linien verbunden werden: so sind sie selber parallel und gleich, nach dem 33sten Satze des ersten Buches von Euklid’s Elementen. Und weil und gleich gemacht sind, so erhält man, wenn man zu beiden addirt, gleich , und also auch gleich . Der um den Mittelpunkt mit dem Radius beschriebene Kreis geht also durch , und diesen Kreis beschreibt der Punkt durch die aus und zusammengesetzte Bewegung, als einen excentrischen, dem Hauptkreise gleichen, Kreis, der deshalb auch fest liegt. Denn wenn der Epicykel gleiche Umläufe mit dem Hauptkreise macht: so ist nothwendig, dass die Absiden des so beschriebenen excentrischen Kreises an demselben Orte liegen [173] bleiben. Wenn aber der Mittelpunkt des Epicykels und seine Peripherie ungleiche Umläufe machen, so wird die Bewegung des Gestirns keinen festen excentrischen Kreis mehr beschreiben, sondern einen solchen, dessen Mittelpunkt und Absiden sich rückläufig oder rechtläufig bewegen, je nachdem die Bewegung des Gestirns geschwinder oder langsamer ist, als der Mittelpunkt seines Epicykels.
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Es sei grösser als der Winkel , aber gleich : so wird ebenso bewiesen, dass wenn auf der Linie , gleich abgetragen wird, der um den Mittelpunkt mit dem Radius gleich beschriebene Kreis durch das Gestirn geht, wodurch ersichtlich wird, dass durch die zusammengesetzte Bewegung des Gestirns der Bogen eines excentrischen Kreises beschrieben wird, dessen Apogeum unterdessen vom Punkte rückläufig den Bogen durchlaufen hat. Umgekehrt hätte sich, wenn die Bewegung des Gestirns auf dem Epicykel langsamer gewesen wäre, der Mittelpunkt des excentrischen Kreises rechtläufig bewegt und zwar um so viel, als sich der Mittelpunkt des Epicykels geschwinder bewegt hätte, wie z. B. wenn der Winkel kleiner wäre als aber gleich , offenbar das eintreten würde, was ich behauptet habe.
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Aus allem Diesen geht hervor, dass immer dieselbe Ungleichmässigkeit der Erscheinung hervorgebracht wird, sei es durch den Epicykel auf dem Hauptkreise, sei es durch einen dem Hauptkreise gleichen excentrischen Kreis, und dass sich beide nicht von einander unterscheiden, wenn nur die Entfernung der Mittelpunkte gleich dem Radius des Epicykels ist. Welches von Beiden am Himmel vorgehe, ist daher nicht leicht zu ermitteln. Ptolemäus war der Meinung, dass da, wo eine einfache Ungleichmässigkeit und fest unveränderliche Orte der Absiden (wie er sie bei der Sonne vermuthet) wahrgenommen werden, die Begründung durch die Excentricität ausreiche; dem Monde aber und den übrigen fünf Planeten, welche mit doppelten oder mehrfachen Ungleichheiten sich bewegen, schrieb er excentrische Epicykeln zu. Nach der Methode des excentrischen Kreises lässt sich ferner auch leicht zeigen, dass der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen Bewegung und der erscheinenden dann eintritt, wenn das Gestirn in dem mittleren Orte zwischen dem Apogeum und dem Perigeum erscheint; nach der Methode des Epicykels ist dies der Fall, wenn das Gestirn den Hauptkreis schneidet, wie beim Ptolemäus bewiesen ist. Durch den excentrischen Kreis wird dies folgendermassen bewiesen: Es sei ein Kreis um den Mittelpunkt , sein Durchmesser gehe durch die Sonne in ausserhalb des Mittelpunkts. Die Linie werde rechtwinklig durch , und noch und gezogen. [174]
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Das Apogeum sei , das Perigeum , — und mögen die mittleren erscheinenden Orte sein. Es ist offenbar, dass der Aussenwinkel die gleichmässige, der innere Winkel die erscheinende Bewegung bezeichnet, und der Unterschied beider der Winkel ist. Ich behaupte, dass kein grösserer Peripheriewinkel als die beiden bei und , über der Linie construirt werden kann. Man nehme vor und hinter die Punkte und an, ziehe , , und , , . Da nun dem Mittelpunkte näher und also grösser ist als , so ist Winkel grösser als . Gleich sind aber die Winkel und , weil und gleiche Schenkel sind. Deshalb ist auch der Winkel , welcher gleich ist, grösser als der Winkel . Ebenso ist auch grösser als . Der Winkel ist grösser als , der ganze ist aber gleich dem ganzen , weil und gleich sind, der Rest also , welcher gleich , muss also auch grösser sein, als . Es kann daher nirgend über der Linie ein grösserer Winkel als in den Punkten und construirt werden. Folglich findet die grösste Differenz der gleichmässigen und erscheinenden Bewegung in dem mittleren Orte zwischen dem Apogeum und Perigeum statt.
Capitel 16.
Ueber die erscheinende Ungleichmässigkeit der Sonne.
Dies ist allgemein bewiesen, und es kann nicht nur den Erscheinungen der Sonne, sondern auch den Ungleichmässigkeiten anderer Gestirne angepasst werden. Jetzt wollen wir das behandeln, was der Sonne und der Erde eigenthümlich ist; und zwar zuerst das, was wir von Ptolemäus und anderen Früheren überliefert erhalten haben, darauf das, was uns die neuere Zeit und die Erfahrung gelehrt hat. Ptolemäus[107] fand, dass zwischen der Frühlingsnachtgleiche und der Sonnenwende 94½, zwischen der Sonnenwende und der Herbstnachtgleiche 92½ Tage lagen. Es war also nach Verhältniss der Zeit in dem ersten Zeiträume die mittlere gleichmässige Bewegung 93° 9′, im zweiten 91° 10′[108].
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Der auf diese Weise eingetheilte Jahreskreis sei , dessen Mittelpunkt . Für den ersten Zeitraum werde gleich 93° 9′, für den zweiten gleich 91° 10′ genommen. Von aus erscheint die Sonne im Frühlingsnachtgleichenpunkte, von aus in der Sommersonnenwende, von aus im Herbstnachtgleichenpunkte, und endlich von aus in der Wintersonnenwende. Man ziehe und , diese mögen sich gegenseitig rechtwinklig in schneiden, wohin wir die Sonne versetzen. Weil nun der Bogen grösser ist

[175] als der Halbkreis, und grösser als : so erkannte Ptolemäus hieraus, dass der Mittelpunkt des Kreises, zwischen den Linien und , und das Apogeum zwischen der Frühlingsnachtgleiche und der Sommersonnenwende liege. Man ziehe nun durch den Mittelpunkt parallel mit die grade Linie , welche in schneidet; und parallel mit die grade Linie , welche in schneidet. Auf diese Weise entsteht das rechtwinklige Parallelogramm , dessen Diagonale in ihrer Verlängerung die grösste Entfernung der Erde von der Sonne, und den Punkt als Ort des Apogeums bezeichnet. Da nun der Bogen 184° 19′ beträgt, so enthält 92° 9½′, wenn dies von abgezogen wird, so bleibt der Rest zu 59′. Zieht man wieder von den Quadranten ab: so bleibt gleich 2° 10′. Die halbe Sehne des doppelten Bogens hat 377 solcher Theile, von denen 10000 auf den Halbmesser gehen und ist gleich . Die halbe Sehne des doppelten Bogens , nämlich , enthält 172 solcher Theile. Aus den beiden gegebenen Seiten des Dreiecks ergiebt sich die Hypothenuse zu 414, ungefähr den 24sten Theil von dem Radius . Wie sich aber zu verhält, so verhält sich auch der Radius zu der halben Sehne des doppelten Bogens . Folglich ergiebt sich der Bogen zu 24½°, und so viel beträgt auch der Winkel , dem wieder der erscheinende Winkel gleich ist. Um diesen Abstand war also vor Ptolemäus das Apogeum der Sommersonnenwende voraus. Da aber ein Kreisquadrant ist, so bleibt, wenn man davon und , welche gleich und sind, abzieht, gleich 86° 51′; und der Rest von , nämlich gleich 88° 49′. Aber den 86° 51′ entsprechen 88⅛ Tage, und den 88° 49′ entsprechen 90⅛ Tage, oder 3 Stunden, in welchen Zeiten die Sonne bei gleichmässiger Bewegung der Erde von der Herbstnachtgleiche zu der Wintersonnenwende, und von der Wintersonnenwende zur Frühlingsnachtgleiche überzugehen schien. Ptolemäus bezeugt, dass er dies nicht anders gefunden habe, als es vor ihm von Hipparch überliefert sei. Deshalb schloss er, dass auch für alle nachfolgende Zeit ewig das Apogeum 24½° vor der Sommersonnenwende vorausbleiben, und die Excentricität den 24sten Theil des Radius, wie angegeben, betragen werde. Beides zeigt sich aber jetzt um eine beträchtliche Differenz geändert. Albategnius giebt von der Frühlingsnachtgleiche bis zur Sommersonnenwende 93 Tage 35I und bis zur Herbstnachtgleiche 186 Tage 37I an [109], woraus er nach des Ptolemäus’ Vorschrift die Excentricität zu nicht mehr als zu 347 solcher Theile, von denen 10000 auf den Halbmesser gehen, ermittelt. Mit ihm stimmt in Bezug auf die Excentricität der Spanier Arzachel überein, doch giebt Letzterer das Apogeum zu 12° 10′ vor der Sonnenwende an, während Albategnius dasselbe 7° 43′ [110] vor der Sonnenwende fand. Hieraus ist wohl abzunehmen, dass es noch eine andere Ungleichheit in der Bewegung des Mittelpunktes der Erde giebt, was auch durch die Beobachtungen unserer Zeit bestätigt wird. Denn seit mehr als 10 Jahren, in denen wir uns auf die Untersuchung dieser Dinge gelegt haben, und namentlich im Jahre Christi 1515 haben wir gefunden, dass von

[176] der Frühlings- bis zur Herbstnachtgleiche 186 Tage 5½I verstreichen, und damit wir in der Beobachtung der Sonnenwenden uns nicht täuschen möchten, was Manche in Bezug auf die Früheren vermuthen, haben wir zu diesem Zwecke gewisse andere Sonnenörter gewählt, welche auch ausserhalb der Nachtgleichen liegen und keineswegs schwierig zu beobachten sind, wie z. B. die Mitten des Sternzeichens des Stieres, des Löwen, des Scorpions und des Wassermanns. Nun haben wir von der Herbstnachtgleiche bis zur Mitte des Scorpions 45 16I und bis zur Frühlingsnachtgleiche 178 53½I Tage gefunden. Die gleichmässige Bewegung in dem ersten Zeitraume beträgt 44° 37′, im zweiten 176° 19′.
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Nach diesen vorläufigen Angaben nehmen wir den Kreis . Es sei der Punkt, von wo die Sonne im Frühlings-, und von wo sie im Herbst-Nachtgleichenpunkte gesehen wird, sei die Mitte des Scorpions. Wir ziehen und , welche sich im Mittelpunkte der Sonne schneiden, und noch . Nun ist der Bogen gleich 44° 37′, und ebenso gross ist der Winkel , wenn man 360° gleich zweien Rechten nimmt. Weiter ist der Winkel , als der Winkel der erscheinenden Bewegung, gleich 45°, wenn 360° gleich vier Rechten; wenn aber 360° gleich zweien Rechten, so ist gleich 90°. Die Differenz Beider, , welche dem Bogen entspricht, beträgt 45° 23′. Der ganze Abschnitt umfasst 176° 19′, zieht man ab: so bleibt gleich 131° 42′, addirt man dazu : so erhält man den Bogen gleich 177° 5′. Da also jeder von den beiden Abschnitten und kleiner als der Halbkreis ist, so ist klar, dass in dem Reste der Mittelpunkt des Kreises enthalten ist. Dieser sei , es werde durch der Durchmesser gezogen, sei das Apogeum, das Perigeum, es stehe senkrecht auf . Die Sehnen der gegebenen Bogen sind nach dem Verzeichnisse auch gegeben, nämlich gleich 182494, gleich 199934, wenn der Durchmesser gleich 200000 ist. Da in dem Dreiecke die Winkel gegeben sind: so ergiebt, sich das Verhältniss der Seiten nach dem ersten Satze über ebene Dreiecke, nämlich gleich 97967, während gleich 182494, und wegen des halben Ueberschusses von ist auch gleich 2000 solcher Theile. Dem Abschnitte fehlen 2° 55′ am Halbkreise, davon ist die halbe Sehne gleich 2534. Da in dem Dreiecke die beiden den rechten Winkel einschliessenden Seiten und gegeben sind: so enthält ungefähr 323 solcher Theile, von denen auf 10000 kommen; der Winkel ist aber 51⅔°, wenn 360° 4 Rechte betragen, also ist der ganze Winkel gleich 96⅔°, und der Rest gleich 83⅓°. Wenn aber in 60 Theile getheilt wird: so enthält ungefähr 1 56I solcher Theile. Dies war der Abstand der Sonne von dem Mittelpunkte des Kreises, der nun fast 1/31, geworden ist, während er dem Ptolemäus gleich 1/24 zu sein schien. Und das Apogeum, welches damals um 24½° der Sommersonnenwende voraus war, ist jetzt hinter derselben um 6⅔° zurück. [177]
Capitel 17.
Darstellung der ersten, jährlichen Ungleichmässigkeit der Sonne nebst ihren besonderen Unterschieden.
Da also mehrere verschiedene Ungleichmässigkeiten der Sonne gefunden werden: so glauben wir, diejenige zuerst ableiten zu müssen, welche einen jährlichen Verlauf hat und bekannter als die übrigen ist.
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Zu diesem Zwecke nehmen wir wieder den Kreis um den Mittelpunkt , mit dem Durchmesser ; das Apogeum sei , das Perigeum , und die Sonne in . Nun ist bewiesen, dass der Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung in dem scheinbaren mittleren Orte zwischen beiden Absiden am grössten ist. Errichten wir in gegen die Senkrechte , welche die Peripherie im Punkte schneidet, und ziehen . Da nun in dem rechtwinkligen Dreieck , zwei Seiten gegeben sind, nämlich als Radius des Kreises, und als Abstand der Sonne vom Mittelpunkte: so ist auch der Winkel gegeben, um welchen der Winkel der Gleichmässigkeit von dem erscheinenden rechten Winkel sich unterscheidet. Insofern aber grösser oder kleiner wird, insofern ändert sich auch die ganze Form des Dreiecks. So war vor Ptolemäus der Winkel gleich 2° 23′, zur Zeit des Albategnius und Arzachel’s 1° 59′, jetzt dagegen 1° 51′; und Ptolemäus erhielt den Bogen , welchen der Winkel einschliesst zu 92° 23′ und gleich 87° 37′. Albategnius zu 91° 59′, gleich 88° 1′, jetzt ist gleich 91° 51′ und gleich 88° 9′. Hieraus ergeben sich auch die übrigen Verschiedenheiten.
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Nimmt man nämlich irgendwie einen andern Bogen , wie in der zweiten Figur und ist der Winkel , also auch der innere Winkel , und die beiden Seiten und gegeben: so ergiebt sich, nach der Lehre von den ebenen Dreiecken, der Winkel als Prosthaphärese oder als Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung; und diese Unterschiede müssen sich, wie schon bemerkt, ändern, wenn die Seite sich ändert.
Capitel 18.
Prüfung der gleichmässigen Bewegung an der Länge der Zeit.

Dies ist nun über die jährliche Ungleichmässigkeit der Sonne dargethan; aber dieselbe besteht nicht in einer einfachen Ungleichheit, wie es den Anschein hat, sondern in einer zusammengesetzten, wie dies eine längere

[178] Zeitdauer erweist. Diese Ungleichheiten wollen wir demnächst von einander unterscheiden. Vorher aber mag die mittlere gleichmässige Bewegung des Erdmittelpunktes, durch um so genauere Zahlen festgestellt werden, je mehr dieselbe von der Verschiedenheit der Ungleichmässigkeit getrennt wird, und sich über einen je grösseren Zeitraum erstreckt. Dies wird aber auf folgende Weise erreicht werden. Es ist uns jene Herbstnachtgleiche überliefert, welche von Hipparch zu Alexandrien, im 32sten Jahre der dritten Callippi’schen Periode, welches, wie oben[87] angegeben, das 177ste Jahr nach dem Tode Alexanders ist, nach dem dritten von den fünf Schalttagen um Mitternacht, auf welche der vierte Schalttag folgte, beobachtet worden ist. Danach aber, dass Alexandrien ungefähr eine Stunde[111] östlicher als Krakau liegt, fand dieselbe ungefähr eine Stunde vor Mitternacht[112] statt. Folglich war nach den oben[113] mitgetheilten Berechnungen der Ort der Herbstnachtgleiche an der Fixsternsphäre vom Kopfe des Widders 176° 10′[114] entfernt; und dies war der erscheinende Ort der Sonne, derselbe stand aber von dem Apogeum um 114½°[115] ab.
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Für diesen Fall werde der Kreis , welchen der Erdmittelpunkt beschreibt, um den Mittelpunkt construirt, dessen Durchmesser sei , und innerhalb desselben stehe die Sonne in , das Apogeum sei in , das Perigeum in , sei der Punkt, in welchem die herbstliche Sonne in der Nachtgleiche erscheint. Man ziehe die graden Linien und . Da nun der Winkel , um welchen die Sonne vom Apogeum abzustehen scheint, 114½° beträgt, und damals 414 solcher Theile betrug, von denen 10000 enthält: so sind die Winkel des Dreiecks nach dem fünften Satze der ebenen Dreiecke gegeben und der Winkel wird 2° 10′, um welchen Winkel der Winkel von unterschieden ist. Der Winkel beträgt aber 114° 30′, folglich ist gleich 116° 40′, und aus demselben Grunde weicht der mittlere oder gleichmässige Ort der Sonne vom Kopfe des Widders an der Fixsternsphäre um 178° 20′ ab.
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Hiermit haben wir die von uns zu Frauenburg, unter demselben Meridian wie Krakau[116] im Jahre Christi 1515 am 14. September, im 1840sten ägyptischen Jahre nach Alexanders Tode am 6ten Phaophi, des zweiten Monats der Aegypter, eine halbe Stunde nach Sonnenaufgang[117] beobachtete Herbstnachtgleiche verglichen. Um diese Zeit war der Ort der Herbstnachtgleiche an der Fixsternsphäre nach der Rechnung[118] und nach den Beobachtungen 152° 45′, sein Abstand vom Apogeum nach der früheren[119] Ableitung 83° 20′. Der Winkel werde gleich 83° 20′, von denen 180° zwei Rechte betragen, gemacht; die Dreiecksseite ist als 10000 und als 323 gegeben. Nach dem vierten Satze

[179] über ebene Dreiecke, wird der Winkel zu ungefähr 1° 50′ gefunden. Wenn nämlich ein Kreis das Dreieck umschriebe, so würde der Peripheriewinkel gleich 166° 40′, wo 360° zwei Rechte betragen, und die Sehne würde 19864, wenn der Durchmesser 20000 beträgt; und nach dem gegebenen Verhältnisse von zu erhielte man in eben solchen Längeneinheiten gleich 642. Dies ist aber die Sehne des Winkels , der als Peripheriewinkel 3° 40′, als Centriwinkel aber 1° 50′ beträgt. Und dies war die Prosthaphärese oder der Unterschied zwischen der gleichmässigen und erscheinenden Bewegung; und wenn diese zu dem Winkel , welcher 83° 20′ betrug, hinzuaddirt wird: so erhalten wir den Winkel , und den Bogen gleich 85° 10′, als gleichmässigen Abstand vom Apogeum, und so den mittleren Ort der Sonne an der Fixsternsphäre gleich 154° 35′[120]. Zwischen beiden Beobachtungen liegen nun 1662 ägyptische Jahre 37d 18I 45II[121] und die mittlere gleichmässige Bewegung beträgt ausser den ganzen Umläufen, deren 1660 sind, 336° und ungefähr 15′[122], übereinstimmend mit der Zahl, welche wir in den Tafeln der gleichmässigen Bewegungen dargestellt haben.[123]

Capitel 19.
Ueber die Oerter oder Ausgangspunkte, welche der gleichmässigen Bewegung der Sonne zum Grunde zu legen sind.

Der Zeitraum von Alexander’s des Grossen Tode bis zur Beobachtung des Hipparch beträgt 176a 362d 27½I[124], in welcher Zeit die mittlere Bewegung nach der Berechnung[125] 312° 43′ beträgt. Wenn man diese von den 178° 20′ der Hipparchischen Beobachtung[126], nachdem man dieselbe um 360° des ganzen Kreises vermehrt hat, abzieht: so bleibt für den Anfang der Jahre nach Alexander’s des Grossen Tode, am Mittage des ersten Tages des Monats Thoth der Aegypter, als Ort 225° 37′[127]. Und dies gilt auch für den Meridian von Krakau und Frauenburg, also für unsern Beobachtungspunkt. Von hier bis zum Anfange der römischen Jahre des Julius Cäsar, also in 278a 117½d[128] beträgt die mittlere Bewegung ausser den ganzen Umläufen 46° 28′.[129]. Addirt man dies zu der Zahlenangabe des Ortes Alexanders: so erhält man den Ort Cäsar’s um Mitternacht des ersten Januar, von wo die Römer ihre Jahre und Tage zu zählen anfangen, 272° 4′. Von hier in 45a 12d[130], oder von Alexander dem Grossen in 323a 130½d, ergiebt sich der Ort Christi zu 272° 30′[131]. Und da Christus im 3ten Jahre der 194sten Olympiade geboren ist, und diese Zeit vom Anfange der Olympiaden bis Mitternacht am ersten Januar 775° 12½d[132] beträgt: so erhält man ebenso den Ort der ersten Olympiade am Mittage des ersten Hekatombäon, welcher Tag jetzt nach den römischen Jahren am 1sten Juli jährlich wiederkehrt, zu 96° 16′[133]. Auf diese Weise sind die Ausgangspunkte der einfachen Bewegung der Sonne in Bezug auf die Fixsternsphäre [180] aufgestellt. Die zusammengesetzten Oerter entstehen aus jenen durch Hinzufügen der Präcessionen der Nachtgleichen; nämlich der Ort der Olympiaden 90° 59′, Alexanders 226° 38′, Cäsars 276° 59′, Christi 278° 2′[134]. Alles dies, wie gesagt, auf den Meridian von Krakau bezogen.

Capitel 20.
Ueber die zweite und doppelte Ungleichheit der Sonne, welche wegen der Veränderung der Absiden eintritt.

Eine grössere Schwierigkeit liegt in der Unbeständigkeit der Absiden der Sonne. Ptolemäus sah dieselben für feststehend an; Andere glaubten, dass ihre Veränderung aus der Bewegung der Fixsternsphäre folge, weshalb sie denn annahmen, dass auch die Fixsterne sich bewegten. Arzachel war der Meinung, dass auch diese Bewegung ungleichmässig sei, so dass sie auch rückläufig werden könne; indem er dies daraus schloss, dass Albategnius wie gesagt[135], das Apogeum um 7° 43′ der Sonnenwende vorausgehend gefunden hatte, dasselbe also vor ihm von Ptolemäus an, in 740 Jahren ungefähr 17°[136] vorgerückt war; nach Jenem im Verlaufe von 200 weniger 7 Jahren ungefähr 4½° zurückgegangen zu sein schien. Und deshalb meinte er, es gäbe noch eine andere, in einem kleinen Kreise verlaufende Bewegung des Mittelpunkts der Jahresbahn, wodurch das Apogeum vor- und zurückrücke, und zugleich die Abstände des Mittelpunktes jener Bahn vom Weltmittelpunkte sich veränderten. In der That schön erfunden, aber deswegen nicht annehmbar, weil es im Vergleich zum Ganzen mit dem Uebrigen nicht in Zusammenhang gebracht werden kann. Wenn nämlich der Verlauf dieser Bewegung der Reihe nach betrachtet wird, dass sie eine Zeit lang vor Ptolemäus still gestanden hat, dann in 740 Jahren ungefähr 17° vorgerückt und darauf in 200 Jahren 4 oder 5° zurückgegangen, in der übrigen Zeit bis auf uns aber vorgerückt ist, während in der ganzen Zeit kein Zurückrücken weiter, noch weitere Stillstände bemerkt sind, welche letzteren doch nothwendig bei entgegengesetzten Bewegungen vorkommen müssen: — so kann dies auf keine Weise aus einer regelmässigen und kreisförmigen Bewegung abgeleitet werden. Deshalb wird von Vielen vermuthet, dass bei jenen Beobachtungen der Absiden irgend ein Irrthum stattgefunden habe. Beide Mathematiker sind an Eifer und Sorgfalt gleich, so dass es zweifelhaft ist, wem wir lieber folgen sollen. Ich bekenne, dass nirgend eine grössere Schwierigkeit liegt, als beim Beobachten des Apogeums der Sonne, bei welchem aus den kleinsten und kaum wahrnehmbaren Grössen, grosse Grössen berechnet werden müssen. Da in der Gegend des Perigeums und des Apogeums ein ganzer Grad in der Prosthaphärese nur eine Aenderung von 2 Minuten hervorbringt; in der Gegend der mittleren Entfernungen aber auf eine Minute, 5 bis 6 Grade kommen: so kann sich ein kleiner Fehler in’s Ungeheure steigern. Deshalb haben wir, als wir das Apogeum zu 6⅔° des

[181] Kreises bestimmten, uns nur dann damit begnügt, uns auf das Horoscop zu verlassen, wenn auch noch die Sonnen- und Mondfinsternisse uns eine Bestätigung gewährten. Weil, wenn in jenem ein Fehler versteckt lag, diese denselben ohne Zweifel offenbaren mussten. Aus dem Zusammenfassen der Bewegung im Ganzen, können wir als das Wahrscheinlichste nur erkennen, dass sie rechtläufig sei, und zwar ungleichmässig. Mit Ausnahme des Fehlers, welcher, wie man annehmen muss, zwischen Albategnius und Arzachel stattgefunden hat, ist, da alles Uebrige damit in Uebereinstimmung ist, nach jenem Stillstande von Hipparch bis Ptolemäus, das Apogeum bis heute im ununterbrochenen, regelmässigen und beschleunigten Vorschreiten begriffen gewesen. Da nämlich auch die Prosthaphärese der Sonne ebenfalls noch nicht aufgehört hat, abzunehmen, so scheint es, dass beide Ungleichmässigkeiten jener ersten einfachen Anomalie der Schiefe der Ekliptik wenigstens ähnlich seien.
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Damit dies klarer werde, sei ein Kreis in der Ebene der Ekliptik, um den Mittelpunkt , der Durchmesser sei , in demselben stehe die Sonnenkugel in , als im Mittelpunkte der Welt, und um den Mittelpunkt werde ein anderer ganz kleiner Kreis beschrieben, der die Sonne nicht einschliesst; in diesem kleinen Kreise möge der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs des Mittelpunkts der Erde, als im langsamen Fortschreiten begriffen, gedacht werden. Wenn sich nun der kleine Kreis zugleich mit der Linie rechtläufig, der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs aber, in der Peripherie des kleinen Kreises rückläufig: und zwar beide sehr langsam bewegen: so befindet sich irgend einmal der Mittelpunkt der Jahresbahn in der grössten Entfernung , einmal in der kleinsten , und zwar dort in der langsameren, hier in der geschwinderen Bewegung; und in den dazwischen liegenden Bogen des kleinen Kreises bewirkt das Wachsen und Abnehmen, dass jene Entfernung der Mittelpunkte mit der Zeit abwechselnd bald der grössten Abside vorausgeht, bald ihr folgt, oder das Apogeum, welches in der Linie , ungefähr in der Mitte liegt, erreicht. Wie z. B. wenn man, den Bogen annehmend, zum Mittelpunkte macht, und um denselben einen, dem Kreise gleichen Kreis beschreibt: sich die grösste Abside alsdann in der Linie findet, und der Abstand kleiner ist, als , nach dem 8ten Satze des 3ten Buches Euklid’s. So nämlich wird dies durch den excentrischen Kreis eines excentrischen Kreises erklärt, durch den Epicykel eines Epicykels aber folgendermaassen, sei ein Kreis um den Mittelpunkt der Welt und der Sonne, sein Durchmesser, in welchem die grösste Abside liegt. Man beschreibe um den Mittelpunkt den Epicykel und wieder um den Mittelpunkt den Epicykel ; in diesem soll sich die Erde bewegen, und alle Kreise sollen in der Ebene der Ekliptik liegen. Die Bewegung des ersten Epicykels sei rechtläufig und ungefähr von Jahresdauer, [182]
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die des zweiten oder von sei ebenso eine jährliche, aber rückläufig, die Umläufe beider sollen auf der Linie zusammenfallen. Die Bewegung des Mittelpunkts der Erde, von aus rückläufig, vermehre auf einige Zeit diejenige von . Hieraus ist nun offenbar, dass die Erde, wenn sie in ist, das grösste Apogeum der Sonne hervorbringt, in das kleinste; in den dazwischen liegenden Bogen des Epicykels bewirkt sie, dass das Apogeum mehr oder weniger beschleunigt oder verzögert vorschreitet oder nachfolgt, und dass die ungleichmässige Bewegung so zur Erscheinung kommt, wie früher über den Epicykel und den excentrischen Kreis nachgewiesen ist. Man nehme den Bogen , construire um , als Mittelpunkt, einen Epicykel und verlängere die Verbindungslinie gradlinig : so ist Winkel gleich dem Winkel , wegen des gleichen Umlaufs. Wie wir früher nachgewiesen haben, beschreibt nun der Punkt einen dem Hauptkreise gleichen excentrischen Kreis um den Mittelpunkt , wobei der Abstand gleich ist; und ebenfalls seinen excentrischen Kreis, mit dem Abstande gleich , und in ähnlicher Weise mit dem Abstande gleich . Wenn inzwischen der Mittelpunkt der Erde schon irgendwie einen Bogen des zweiten also seines eigenen Epicykels zurückgelegt hätte: so würde nicht mehr den excentrischen Kreis beschreiben, dessen Mittelpunkt in der Linie , sondern einen solchen, dessen Mittelpunkt in der mit parallelen Linie liegt, weil, wenn und gezogen werden, diese einander gleich aber kleiner sind, als und , und der Winkel gleich dem Winkel ist, nach dem 8ten Satze des ersten Buches Euklid’s; und um so viel scheint das Apogeum der Sonne in der Linie dem in vorauszugehen. Hieraus ergiebt sich, dass dasselbe auch aus einem excentrischen Epicykel sich ableiten lässt. Es bewege sich nämlich der Mittelpunkt der Erde nur in dem vorhin angenommenen excentrischen Kreise, welchen der Epicykel