RE:Eudoxos 8

Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft

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Eudoxos 7

Eudracinum

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von Knidos, Mathematiker, Astronom, Geograph und Gesetzgeber † 355 v. Chr.

Band VI,1 (1907) S. 930–950

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8) Von Knidos, Sohn des Aischines, nach Diog. Laert. VIII 86. 88. 91 berühmt als Mathematiker, Astronom, Arzt and Gesetzgeber; doch ist noch hinzuzufügen, daß er auch ein geschulter Philosoph, sowie ein namhafter Geograph gewesen ist. In letzterer Eigenschaft hat er, wie Polybios bei Strab. X 465 ihm nachrühmt, auch die Kunst der historischen Darstellung betätigt (als μαθηματικὸς ἀνήρ zitiert ihn Strab. IX 390f., vgl. ebd. XIV 656). Wo nur immer in alten Quellen Eὔδοξος schlechthin zitiert wird, ist anzunehmen, daß der Knidier als der berühmteste Träger dieses Namens gemeint ist.

1. Seine ἀκμή fiel nach der Chronik des Apollodor bei Diog. VIII 90 in die 103. Olympiade = 368–365 v. Chr. Indem Boeckh Die vierjährigen Sonnenkreise der Alten 151. Cantor Vorles. über Gesch. der Mathematik I2 225 und Tannery Hist. de l’astronomie 296, 4 das Anfangsjahr der erwähnten Olympiade als ungefähren Zeitpunkt seiner Blüte setzen (vgl. Schwartz o. Bd. I S. 2858), gelangen sie nach der bekannten Regel zu ungefähr 408 als Geburtsjahr, woraus weiter folgt, daß sein Todesjahr, da er nach Apollod. a. a. O. ein Alter von 53 Jahren erreicht hat, um 355 anzusetzen ist. Der Versuch von Unger Philol. N. F. IV (1891), 191ff., die Geburt des E. auf das J. 420 oder 419, seine Reise nach Ägypten auf das J. 396 oder 395 (also 14 oder 13 Jahre vor dem Regierungsantritt des Nektanebes, an welchen doch E. bei dieser Reise durch Agesilaos empfohlen worden ist) anzusetzen, wird widerlegt von Susemihl Rh. Mus. LIII (1898) 626. Doch kann auch Susemihls Vermutung (ebd. 626f.), daß E. um 390 geboren sei, nicht gebilligt werden. Sein Hauptargument war, daß der um 277 unter Ptolemaios II. hingerichtete Rhodier Chrysippos (Wellmann o. Bd. III S. 2511) ein Sohn jenes Chrysippos, der unter des E. Führung nach Ägypten reiste, gewesen sei. Allein der Rhodier Chrysippos war ein Sohn des gleichnamigen Lehrers des Erasistratos (Wellmann o. Bd. III S. 2510f.), und damit fällt die Folgerung Susemihls, daß die Reise des E. mit seinem Schüler Chrysippos, der von dem gleichnamigen Lehrer des Erasistratos zu unterscheiden ist (o. Bd. III S. 2509), nicht schon um 380 habe stattfinden können.

2. Nach den Mitteilungen, welche Diog. VIII 86–90 über den Lebensgang des E. aus Sotion, Apollodor und andern Quellen gesammelt hat, lassen sich einige Hauptpunkte in chronologischer Reihenfolge feststellen. Er lebte anfangs in beschränkten Verhältnissen. In seinem 23. Jahre (um 385 v. Chr.) wurde er von dem Arzte Theomedon nach Athen mitgenommen und ihm das Nötige zum Studium gewährt. Da er mit wenigem auskommen mußte, so erklärt es sich leicht, daß er seine Wohnung im Peiraieus nahm und täglich den weiten Weg nach Athen und zurück zu Fuße zurücklegte. In Athen hörte er zwei Monate lang die Lehrer der Redekunst und Philosophie, besonders auch den Platon. Dann kehrte er nach Knidos zurück, wo seine begüterten Freunde zusammentraten, um ihm eine Reise nach Ägypten zu ermöglichen. Von Agesilaos mit einem Empfehlungsschreiben an den König Nektanebes (Necht-Har-ebhēt) ausgerüstet, geleitete er als Mentor den jungen Arzt Chrysippos aus Knidos, Sohn des Erineos. Da Nektanebes von 382–364 regiert hat und Agesilaos erst im Winter 361/60 gestorben ist (Niese o. Bd. I S. 803), so steht die ganze Regierungszeit des ersteren für die ägyptische Reise des E. offen. Doch geht aus dem kurzen Berichte des Diogenes immerhin deutlich hervor, daß E. die Reise bald nach seiner Rückkehr von Athen angetreten hat; wir werden also seinen sechzehnmonatlichen Aufenthalt in Ägypten mit einiger Wahrscheinlichkeit in die J. 381/80 oder wenig später versetzen (Boeckh Sonnenkreise 148 nimmt die J. 379–77, Tannery Hist. de l’astronomie 295, 5. 298 a. E. die Zeit nach 382 bis spätestens 378 an). Darauf wandte er sich nach Kyzikos und hielt dort Vorträge; später ist er auch mit Mausolos, der seit 377 Dynast von Halikarnassos war, zusammengetroffen. Inzwischen hatte eine große Schar von Schülern in Kyzikos sich um ihn gesammelt, mit denen er um das J. 368 (wie Tannery Hist. 296, 4. 299 vermutet) oder einige Jahre später (Boeckh 156f.) nach Athen zog. Die ihm zufließenden Honorare verschafften ihm die Mittel, um neben den berühmten Meistern der Philosophie und Redekunst eine kollegialische Stellung zu behaupten. Natürlich ist es ihm nicht in den Sinn gekommen, gegen Platon sich feindselig zu stellen, wie Diog. VIII 87 als Gerücht (ὥς φασὶ τινες) meldet. So etwas lag der von Aristot. Eth. 1172 b 15 gerühmten Güte seines Charakters und seiner Maßhaltung fern; auch widerspricht jenem Gerüchte die anderweitige Nachricht (Diog. VIII 88), daß E., als er mit vielen andern von Platon zu einem Symposion geladen war, um allen Beteiligten günstige Plätze zu verschaffen, die Lagerstätten halbkreisförmig anordnen ließ, was doch nicht ohne freundschaftliche Beistimmung des Gastgebers hätte geschehen können. Dagegen beruht es auf einer Übertreibung, wenn ein unbekannter Autor bei Strab. XIV 656 ihn als einen der ἑταῖροι Platons bezeichnet. Im Zusammenhang damit mag die Fabel bei Strab. XVII 806 stehen, daß E. mit Platon nach Ägypten gereist wäre, wo beide dreizehn Jahre lang mit den ägyptischen Priestern verkehrt hätten. Auch die Nachricht bei Aelian. v. hist. VII 17, daß E. den Platon, als er in Sizilien bei Dionys weilte, besucht habe, scheint erfunden zu sein. Das müßte sich auf den jüngern Dionys und den dritten sizilischen Aufenthalt Platons im J. 361 beziehen. Daß E. damals noch in Athen weilte, ist möglich, aber daß er dem Platon zu einem kurzen Besuche nachreiste und an dem Hofe des Tyrannen wie in einem Gasthause einkehrte, recht unwahrscheinlich.

Zu einer nicht näher bestimmbaren Zeit kehrte E. in seine Vaterstadt zurück, wo ihm zu Ehren ein Volksbeschluß erlassen und eine gesetzgeberische Wirksamkeit ihm übertragen wurde. Hermippos bei Diog. VIII 88.

3. Als Lehrer des E. in der Geometrie wird Archytas, in der Heilkunde Philistion und Theomedon (Diog. VIII 86), in der Philosophie Platon (o. § 2) genannt. Aus seiner Schule sind hervorgegangen die Mathematiker Menaichmos, Deinostratos, Athenaios von Kyzikos (Gemin. bei Prokl. zu Elem. I 67 Friedl. Boeckh Sonnenkreise 152). Auch Helikon von Kyzikos hat wahrscheinlich zu seinen Schülern gehört (Boeckh 152, und anlangend Polemarchos 155). Vorträge über Kosmogonie und Meteorologie hat bei ihm der Arzt Chrysippos von Knidos gehört (Diog. VIII 89, vgl. o. § 2).

4. E. hat ein fast universelles Wissen in sich vereinigt und dasselbe möglichst vielseitig betätigt. Seine mathematischen, astronomischen, geographischen und philosophischen Leistungen werden uns im folgenden beschäftigen. Die Sätze der reinen Geometrie, besonders die Theorie der zwei mittleren Proportionalen und die Schnitte von Kurven, wendete er praktisch auf die Konstruktion von Maschinen an (Plut. Marcell. 14, 59f. Sint.). Im Anschluß an seinen Lehrer Archytas behandelte er auch die Theorie der Musik. Er zeigte, daß die Verhältnisse der Konsonanzen, da sie auf der Schnelligkeit von Schwingungen beruhen, durch Zahlen sich darstellen lassen, und daß, je schneller die Schwingungen erfolgen, desto höher die Töne werden (Theo Smyrn. 61 Hiller). Auch Vorträge über die Götter, das Weltganze und die Meteorologie hat er gehalten (Diog. VIII 89). Philostratos (vit. soph. I 1) zählt ihn als ersten unter den Sophisten, d. i. berufsmäßigen Kunstrednern, auf und rühmt an ihm den rednerischen Schmuck seiner Vorträge und die Fähigkeit, kunstvoll aus dem Stegreife zu sprechen. Über seine medizinischen Kenntnisse wissen wir nur, daß er als Arzt für nicht minder berühmt galt, wie als Mathematiker usw. (o. S. 930f.). Auch seine Tätigkeit als Gesetzgeber (o. § 2 a. E.) ist hier nochmals zu erwähnen.

5. Die Leistungen des E. in der Geometrie werden wir am besten im Vergleich mit den Elementen Euklids verfolgen, denn dieser hat einen guten Teil von Sätzen, welche E. teils neu gefunden, teils von älteren Mathematikern übernommen hatte, seinem Lehrbuche eingefügt. Nach Geminos (bei Prokl. zu Elem. I 67 Friedl.) hat E. zu den καθόλου καλούμενα θεωρήματα viele neue hinzugefügt. In einem Werke, dessen Titel vielleicht περὶ ἀναλογίας oder περὶ ἀναλογιῶν lautete, hat er die Proportionen behandelt. Das ganze V. Buch der Elemente hat Eukleides (s. d. § 7. 15) von E. übernommen, insbesondere auch die Lehre von den ὁμογενῆ μεγέθη, seien diese nun kommensurable oder inkommensurable. Eukleides § 16. 18, vgl. Arithmetica § 26. Hankel Zur Gesch. der Mathematik 132. Allein in dem Werke des E. hat mehr gestanden, als wir in den Elementen finden. Nach dem Vorgange des Archytas und Hippasos hat er die ἀναλογία zur μεσότης erweitert und zu der arithmetischen, geometrischen und harmonischen Proportion noch die vierte, fünfte und sechste Medietät hinzugefügt (o. Arithmetica § 31).

Ob auch das VI. Buch der Elemente ganz oder teilweise auf E. zurückzuführen sei, bleibt ungewiß. Sollte der letztere, in Vorbereitung der geometrischen Sätze, auch die proportionale Teilung von Geraden und einige Planfiguren behandelt haben, so hat er es gewiß in ähnlicher Weise getan, wie die Überlieferung bei Euklid lautet. Sicherlich hat die Definition des goldenen Schnittes (Elem. VI 3) schon dem E., und zwar in derselben Fassung wie in den Elementen, vorgelegen. Dann würden auch die euklidischen Sätze 29 und 30 dem E. zuzusprechen sein, denn hier wird die Teilung einer Geraden nach der Regel des goldenen Schnittes nicht, wie Elem. II 11, durch Konstruktion von Rechtecken und Quadraten, sondern durch Proportionen vollzogen (vgl. u. Eukleides § 19 g. E.). Ebenso wird die Aufgabe VI 13, zu zwei gegebenen Geraden die mittlere Proportionale zu finden, von Zeuthen Hist. des mathématiques 90 dem E. zugeschrieben. Auch die Sätze VI 32 und 33 (ebd. § 19 a. E.) rühren vielleicht von ihm her, da sie im XIII. Buche, in welchem so manches aus der eudoxischen Geometrie seinen Platz gefunden hat, zur Anwendung kommen.

Daß E. auch mit der Arithmetik, und zwar im Anschluß an die pythagoreische Lehre, sich beschäftigt hat, ist aus Iambl. in Nicom. arithm. 10, 17 zu ersehen; denn seine Definition der Zahl ist ähnlich wie bei Eukleides Elem. VII def. 2 verlaufen und E. wird dabei schlechthin als Pythagoreer bezeichnet.

6. Geminos (bei Prokl. zu Elem. I 67) rühmt von E. nicht nur, daß er zu den drei ersten Proportionen drei andere hinzugefügt habe (o. § 5), sondern auch, daß er τὰ περὶ τὴν τομὴν (θεωρήματα) ἀρχὴν λαβόντα παρὰ Πλάτωνος εἰς πλῆθος προήγαγεν, καὶ ταῖς ἄναλύσεσιν ἐπ' αὐτῶν χρησάμένος. Die Teilung von Geraden nach dem goldenen Schnitte (ἄκρον καὶ μέσον λόγον) mußte dem Platon bekannt sein, als er die fünf regulären Polyeder behandelte (Papp. synag. V 352, II Hu.), also hat Geminos bei den platonischen Theoremen unter τομή zunächst die Teilung von Geraden nach dem goldenen Schnitte verstanden, wobei nicht ausgeschlossen ist, daß E., wie später sich zeigen wird, die τομή auch auf Kurven angewendet und dadurch die Menge der durch analytische Methode zu beweisenden Theoreme vermehrt hat (Gemin. a. a. O.). So hat er im Anschluß an Platon die fünf Sätze aufgestellt und bewiesen, die später von Euklid an den Anfang des XIII. Buches der Elemente gestellt worden sind. Bretscheider Die Geometrie vor Euklides 168. Künßberg Eudoxos von Knidos II (Programm Dünkelsbühl 1890) 41–44. Cantor Vorlesungen über Gesch. der Mathematik I2 228. 260.

Die Erfindung der analytischen Methode wird zwar von Diog. III 24 dem Platon zugeschrieben; doch war ihre Ausbildung zu streng formulierten Beweisen jedenfalls ein Verdienst des E., der es auch nicht unterlassen hat, zu der Analyse die erforderliche Synthesis beizufügen. Cantor Vorles. I2 260f. vgl. mit 207–209 (anlangend die analytische Methode heißt es bei Prokl. zu Elem. I 211, 21, daß Platon sie dem Leodamas übermittelt habe, παραδέδωκεν; doch ist damit Platon wohl ebenso als Erfinder derselben gemeint, wie mit εἰσηγήσατο bei Diog. a. a. O.).

7. Bei der Vergleichung von regulären Körpern hat E. gefunden, daß eine Pyramide der dritte Teil eines Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe, und unter denselben Voraussetzungen der Kegel der dritte Teil des Zylinders ist. Archim. sphaer. et cyl. I p. 4 Heib.; quadrat. parab. 296. Heiberg Studien über Euklid 34. Cantor Vorles. I2 229. 257 (in Euklids Elementen sind es die Sätze 7 und 10 des XII. Buches). Dabei hat E. sich eines Lemma bedient, das nach Archimedes (quadr. parab. 296, 9) lautete: τῶν ἀνίσων χωρίων τὰν ὐπεροχάν, ᾇ ὑπερέχει τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος, δυνατὸν εἶμεν αὐτὰν ἑαντᾷ συντιθεμέναν παντὸς ὑπερέχειν τοῦ προτεθέντος πεπερασμένου χωρίου. Dem entsprach das bei Euklid Elem. X 1 überlieferte Verfahren des E., nur daß statt der Verdoppelung der Differenz zweier Größen usw. (Archim. a. a. O.) die Subtraktion je einer Größe, die mehr als ${A \over 2}$ beträgt, von ${A}$ und die weitere Fortsetzung dieses Verfahrens bis zur Gewinnung einer Größe, die, mag eine andere Größe ${B}$ auch noch so klein sein, doch noch kleiner als ${B}$ sein wird, angewendet worden ist.

Wenn Archimedes a. a. O. bemerkt, daß die früheren Geometer nicht bloß die Sätze von der Pyramide und dem Kegel, sondern auch jene über die Gleichheit der Verhältnisse von Kreisen oder Kugeln mit den Verhältnissen der Quadrate oder Kuben der Durchmesser mittels desselben Lemma erwiesen haben, so werden wir mit Recht unter jenen älteren Geometern besonders den E. uns vorstellen. Die beiden letzteren Sätze waren ihm jedenfalls bekannt, und wahrscheinlich ist er es gewesen, der die genauen Beweise aus dem erwähnten Lemma ableitete. Bei Euklid wird im Beweise zu dem Satze von den Kreisen (Elem. XII 2) dieses Lemma in der Tat angewendet, und ähnlich ist wohl auch E. verfahren, um den Satz von den Kugeln zu erweisen, während Euklid hier (Elem. XII 18) ein anderes Verfahren, bei welchem von dem Lemma kein Gebrauch gemacht wurde, bevorzugt hat. Vgl. Heiberg Studien 34f.

8. Die Methode der Exhaustion bedeutet im Sinne der alten Mathematiker die Zurückführung des Verhältnisses einer Größe zu einer andern homogenen (u. Eukleides § 16), aber durch die erstere nicht meßbaren Größe auf das Verhältnis einer rationalen Zahl zu einer irrationalen (oder transzendentalen) Zahl, die jedesmal durch eine größere und eine kleinere rationale Zahl derart zu umschließen ist, daß der Unterschied der irrationalen Zahl von den rationalen Grenzwerten zuletzt kleiner als jede noch denkbare Größe, d. i. unendlich klein wird. Dies haben die Pythagoreer zuerst an dem Verhältnis 1:${\sqrt {2}}$ nachgewiesen und dazu auch den geometrischen Beweis hergestellt. Hultsch Biblioth. math. I (1900) 8ff.; Excurs zu Procli in Platonis remp. comment. II 393ff. Kroll. So hat auch später Archimedes das Verhältnis des Durchmessers des Kreises zu der inkommensurablen Peripherie zurückgeführt auf das Verhältnis von 1 zu einem zwar durch keine rationale Zahl darstellbaren, aber zwischen je eine größere und eine kleinere, gebrochene Rationalzahl dergestalt einzuschließenden Zahlenwert π, daß die Unterschiede der Zahl π von den umschließenden Grenzwerten zuletzt unendlich klein werden. Auch hier ist neben der arithmetischen Darstellung die geometrische einhergegangen. Hultsch Nachrichten Gesellsch. der Wiss. Göttingen 1893, 367ff.; Ztschr. f. Mathem. und Phvsik XXXIX (1894) 121ff. 161ff. Cantor Vorles. I2 258f. 285ff. 301.

Als E. die schon den Pythagoreern bekannte Lehre von den Proportionen erweiterte und in ein System brachte, stellte er im allgemeinen fest, daß es Verhältnisse nicht bloß zwischen kommensurabeln Größen, sondern auch zwischen inkommensurabeln gebe (o. § 5). Konnte dann der einen Größe ein rationaler Zahlenwert beigelegt werden, so trat für die inkommensurable Größe ein irrationaler Zahlenwert ein, der jedoch zwischen rationalen Grenzwerten immer enger eingeschlossen werden konnte. Indem nun E. statt der arithmetischen Darstellung die geometrische wählte, führte er die Exhaustionsmethode, d. i. die Darstellung unendlich kleiner Unterschiede zwischen je zwei konstruierbaren Größen, als ein geometrisches Beweismittel ein. Der grundlegende Satz ist in Euklids Elem. X 1 (o. § 7) überliefert. Von früheren Erklärungen des Exhaustionsverfahrens sind anzuführen die von Künßberg Eudoxos von Knidos II (Progr. Dünkelsbühl 1890) 33ff. Cantor Vorles. I2 229. 254. 257f. Heath Works of Archimedes p. XLVIIIff. Zeuthen Hist. des mathém. 136ff.

9. Über kein Problem der griechischen Geometrie ist eine so reichhaltige Überlieferung auf uns gekommen, wie über die Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen in Verbindung mit der Aufgabe, zu einem gegebenen Würfel einen doppelt so großen herzustellen (Prokl. zu Elem. I 213, 3–7). Die Frage ist vorläufig unter Arithmetica (o. Bd. II S. 1105) berührt worden und wird ausführlich unter Geometria zu behandeln sein. E. hat, wie zuverlässig berichtet wird, das Problem durch den Schnitt gekrümmter Linien gelöst. Eutok. zu Archim. sphaer. et cyl. 66, 12 Heib.: (Εὔδοξός]) φησιν ἐν προοιμίοις διὰ καμπύλων γραμμῶν αὐτὴν (τὴν εὕρεσιν) ηὑρηκέναι. Eratosth. bei Eutok. ebd. 106, 2–5: δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἠμικυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν; ebd. 112, 21 f.: Εὐδόξοιο καμπύλον ἐν γραμμαῖς εἶδος. Plut. Marcell. 14 (60, 34 Sint.): ἀπὸ καμπύλων γραμμῶν καὶ τμημάτων. Apollod. Chronic. bei Diog. VIII 90: εὑρεῖν τὰ περὶ τὰς καμπύλας γραμμάς. Näheres über die Art der Lösung ist leider nicht bekannt; doch ist sie, wie alles was von E. herrührt, vortrefflich gewesen, denn sie hat den ungeteilten Beifall des Eratosthenes gefunden (a. a. O. 112, 21: θεουδέος Εὐδόξοιο usw.). Dagegen kann nicht in Betracht kommen, was ein unbekannter Platoniker bei Plut. Marcell. 14 (60, 36–42 Sint.) und quaest. conviv. 718 E–F tadelnd bemerkt, daß E. und andere den geometrischen Problemen, statt sie nach abstrakter Methode zu lösen, auf mechanischem Wege beizukommen versucht hätten. Das hat ja Platon selbst getan (Eutok. zu Archim. sphaer. et cyl. 66ff.); E. aber hat an erster Stelle die streng mathematische Lösung dargeboten und daneben, wie aus Plutarch hervorgeht, auch eine mechanische Vorrichtung ersonnen, mittelst deren, ähnlich wie bei Platon, zwei mittlere Proportionalen annähernd konstruiert werden konnten. Ebenso ist zurückzuweisen der von Eutok. a. a. O. erhobene Vorwurf, E. habe zwar versprochen, das Problem mit Hülfe gekrümmter Linien zu lösen, sei aber in dem Beweise davon abgekommen und habe eine getrennte Proportion (Arithmetica o. Bd. II S. 1095, 20) statt einer stetigen angewendet. Das ist ein offenbarer Irrtum des Berichterstatters. E. ist von gewissen Kurven ausgegangen und hat diese in genau bestimmten geometrischen Örtern geschnitten; dadurch hat er zwei Gerade erhalten, die zwischen der Kante des gegebenen und der Kante des gesuchten Würfels eine stetige Proportion darstellten. Das hat er durch eine Analysis bewiesen und dabei gewiß die Exhaustion angewendet (denn die beiden Proportionalen zwischen 1 und 2 [Arithmetica Bd. II S. 1105, 32] sind ja irrationale Werte); freilich haben der Gewährsmann des Eutokios und dieser selbst das nicht zu fassen vermocht, und die in Wirklichkeit stetige Proportion ist ihnen als eine getrennte erschienen.

Das Verfahren des E. haben wiederherzustellen versucht Tannery Mém. de la Société des sciences de Bordeaux, 2. série, II (1878) 282f. und Künßberg Eudoxos von Knidos II 55f.; doch fehlen bei ihnen die καμπύλαι γραμμαί, die nach sicherer Überlieferung von E. konstruiert und zur Beweisführung verwendet worden sind.

10. Nach Geminos (o. § 6) hat E. τὰ περὶ τὴν τομὴν θεωρήματα) vervielfältigt und dabei der analytischen Methode sich bedient. Dies betrifft ebenso die Teilung einer Geraden nach der Regel des goldenen Schnittes (§ 6), wie den soeben nachgewiesenen Schnitt gekrümmter Linien. Nehmen wir dazu die Hippopede (§ 11), so spricht eine große Wahrscheinlichkeit dafür, daß E., als er die Sätze über den Schnitt, vermutlich in einer περὶ τῆς τομῆς oder ähnlich betitelten Schrift, behandelte, deren Vorrede, προοίμια, Eutokios (o. § 9) zitiert, erstens den Schnitt einer Geraden durch andere Gerade oder durch Kreisperipherien, zweitens die Schnitte von Kurven durch andere Kurven oder durch Gerade, drittens die Schnitte von Körpern mit gekrümmter Oberfläche durch Ebenen unter verschiedenen Gesichtspunkten dargestellt und die daraus abgeleiteten Theoreme bewiesen hat.

11. Archytas hatte zu der Lösung des Problems der zwei mittleren Proportionalen die Hälfte eines Körpers verwendet, der durch die Drehung eines Kreises um eine in seiner Ebene liegende, aber nicht durch den Mittelpunkt gehende Gerade erzeugt und σπεῖρα (Wulst) genannt wurde. Hero Alex. 27 Hu., def. 96. Geminos bei Prokl. zu Elem. I 119 Friedl. Cantor Vorles. I2 230. Zeuthen Hist. des mathém. 199.

Indem ein solcher Wulst durch Ebenen in verschiedenen Abständen von der Achse und teils parallel zu derselben, teils unter verschiedenen Winkeln geschnitten wurde, entstanden mannigfache geschlossene Kurven, σπειρικαὶ τομαί, unter denen die ἱπποπέδη als Erfindung des E. besonders hervorzuheben ist, Gemin. a. a. O. 127, 1. 128 vgl. mit 113. Simplic. zu Aristot. de cael. 497, 2. Cantor a. a. O. (Tannery bei Zeuthen Hist. 199, 2 sieht in der Hippopede eine sphärische Lemniscate).

Wie E. diese Kurve zur Erklärung der scheinbaren Planetenbahnen verwendete, ist unter Astronomie (o. Bd. II S. 1838f.) gezeigt worden. Nicht genau ist der aus Geminos geschöpfte Bericht des Proklos a. a. O. 111, 19. 111, 23–112, 8, wonach Perseus, ein Mathematiker der alexandrinischen Epoche, die spirischen Schnitte ersonnen haben soll. Das hatten vor ihm schon Archytas und E. getan; dem Perseus ist nur übrig geblieben, diese Lehre zu erweitern und die Hauptarten der Schnitte systematisch zu unterscheiden.

12. Die Elemente der Lehre von der ruhenden Kugel sind uns durch die Sphärik des Theodosios (1. Jhdt. v. Chr.) und die Hauptsätze über die rotierende Kugel durch Autolykos (um 310 v. Chr.) überliefert. Es hat sich aber herausgestellt, daß der hauptsächliche Inhalt beider Schriften schon um die Mitte des 4. Jhdts. bekannt gewesen ist. Schon zu dieser Zeit haben zwei Sammlungen von Lehrsätzen, die eine über die ruhende, die andere über die rotierende Kugel vorgelegen, die von E. nachweislich benutzt worden sind. Hultsch Ber. Gesellsch. der Wiss. Leipzig 1885, 170ff. 1886, 128ff.; Art. Astronomie § 11. Künßberg Eudoxos von Knidos II (Progr. Dünkelsbühl 1890) 39ff. Loria Modena accad. di scienze XII 2, Ser. 2 (1900), 42ff. Ja es ist nicht unwahrscheinlich, daß E. die von früherher überlieferten Sätze geordnet und diese Sammlungen aus eigener Erfindung vervollständigt hat. Es würde ihm dann eine ähnliche Leistung zuzuschreiben sein, wie seine Lehre von den Proportionen, die von Euklid in das V., teilweise auch in das VI. Buch der Elemente aufgenommen worden ist (o. § 5. 8). So erklärt es sich auch, daß wir in der sog. Eudoxi ars (u. § 24) einige Sätze über die rotierende Kugel, die sicherlich auf E. zurückzuführen sind, zusammengestellt finden.

13. Bei seinem Aufenthalte in Ägypten hatte E. das astronomische Wissen der Priester von Heliopolis sich angeeignet und selbst die Sterne beobachtet. Noch zu Augustus Zeit zeigte man zwischen Heliopolis und Kerkesura die von ihm einst benutzte Sternwarte. Strab. XVII 806f. Später ließ er sich bei Knidos eine Warte einrichten, von welcher aus, obgleich sie nicht viel höher als die Häuser der Stadt war, er noch den in höheren Breiten nicht mehr sichtbaren Stern Kanobos erblickte. Strab. II 160 vgl. mit XVII 807: σκοπὴ τις ... πρὸ τῆς Κνίδου (als ὁ ἐξ Αἰγύπτου ὁρώμενος ἀστήρ wird der Kanobos von E. bei Hipparch in Arati et Eudoxi phaen. 114, 18 Manit. erwähnt; über die Grenzen seiner Sichtbarkeit vgl. Hipparch. 114, 19–29. Berger Wissenschaftl. Erdkunde der Griechen2 247f. 265f. 560).

Um die Örter der Gestirne, seien es Fixsterne oder Wandelsterne (einschließlich Sonne und Mond), für jede Beobachtungszeit annähernd zu bestimmen, hat er ohne Zweifel einer Dioptra sich bedient, die eine ähnliche, wenn auch weniger vollkommene Einrichtung als die später von Hipparch benutzte gehabt haben mag. Art. Dioptra § 5f. Gemin. elem. astron. 2, 18. 46, 17. 136, 23–26 Manit. Tannery Hist. de l’astronomie 46. Als eigene Erfindung wird dem E. die ἀράχνη zugeschrieben (u. § 19). So unzureichend wir auch über dieses Instrument unterrichtet sind, so scheint die Benennung ,Spinnennetz‘ doch darauf hinzudeuten, daß E. ein Netz über den sichtbaren Teil der Himmelskugel geworfen hat, so daß nun der zeitweilige Ort jedes Gestirnes nach Graden und wahrscheinlich auch nach halben Graden verzeichnet und für spätere Untersuchungen festgehalten werden konnte. In der Eudoxi ars (u. § 24) Col. VI. IX. XI werden der Horizont, die beiden Wendekreise und der Zodiakus, der Äquator und die Parallelkreise, zu denen der Zodiakus eine schiefe Lage hat, festgestellt. Unter den Längenkreisen sind diejenigen zwölf Abschnitte, die vom Nordpol nach den Grenzen der Tierkreisbilder (vgl. Eudoxi ars Col. VI 19), sowie nach Bedarf andere dazwischen liegende Abschnitte (vgl. ebd. III 14) dem E. gewiß schon geläufig gewesen. So gewann er die Grundlage für seine φαινόμενα (u. § 16f.), so war es ihm auch möglich, die von den Planeten von Nacht zu Nacht zu derselben Stunde eingenommenen Örter durch Kurven zu verbinden (Eudoxi ars Col. IX zu Anf.: οἱ πλανώμενοι ἀστέρες ... ἕλικα περιφέρονται, ähnlich ebd. Z. 10). Seine Hippopede (o. § 11) bezeugt uns, daß ihm auch die Darstellung von außerordentlich schwierigen, scheinbaren Bewegungen gelang.

Eudemos hat im II. Buche seiner ἀστρολογικὴ ἱστορία (bei Simplic. in Aristot. de caelo 488, 16–20 Heib.) dem E. das Verdienst zugesprochen, daß er zuerst die (scheinbaren) Planetenbewegungen auf gewisse einfachste Voraussetzungen zurückgeführt habe. Das hat er aus eigenem Antriebe getan, nicht infolge einer von Platon gestellten Aufgabe, wie Sosigenes vermutete (ebd. 488, 21–24). Nach Eudemos war es dem E. auf diese Weise gelungen διασῶσαι τὰ φαινόμενα (vgl. o. Astronomie § 14 z. Anf.); doch ist damit nicht das Wesentliche von des E. Leistungen getroffen. Denn die Aufgabe, die scheinbaren Planetenbewegungen in einfachster Weise zu erklären, ist von Späteren nach andern und, wie es den Alten schien, besseren Methoden gelöst worden (o. Astronomie § 14); aber das bleibende Verdienst des E. war die authentische Feststellung jeder zu einer bestimmten Zeit gemachten Beobachtung und die Vergleichung der einen Feststellung mit den zahlreichen, zu andern Zeiten gemachten Beobachtungen. So ist er der Begründer der wissenschaftlichen Astronomie geworden. Zeuthen Hist. des mathém. 16. 21.

Fragen wir, wie weit er durch seine astronomischen Methoden tatsächlich fortgeschritten ist, so muß uns immer die schnelle Entwicklung der griechischen Astronomie während der nächsten Jahrhunderte gegenwärtig bleiben. E. eröffnete die neuen Bahnen, andere folgten ihm und erreichten höhere Ziele. Das können wir recht deutlich aus den Fortschritten bei den Messungen von Sonne und Mond erkennen. Nach E. war der Durchmesser der Sonne neunmal so groß als der des Mondes; Aristarchos konnte den Sonnendurchmesser schon zu etwa 19 Monddurchmessern oder 63/4 Erddurchmessern, Hipparchos zu 121/3 Erddurchmessern bestimmen; Poseidonios endlich kam auf 391/4 Erddurchmesser. Ähnlich wuchsen auch die Zahlen der Entfernung der Sonne von der Erde. Hultsch Abh. zur Gesch. der Mathem. IX (1899) 193, 2; Ber. Gesellsch. der Wiss. Leipzig 1900, 199f.

14. Die Planeten ließ E. in der von Platon festgestellten Reihe aufeinander folgen. Der Erde am nächsten bewegte sich der Mond, dann die Sonne (dies ergibt sich aus Eudoxi ars Col. XVIII–XX); weiter folgten Venus, Merkur, Mars, Iuppiter und Satumus (ebd. V. IX. Astronomie o. Bd. II S. 1838, 56 vgl. mit S. 1835, 50). Auch die Umlaufszeiten der Planeten hat E. annähernd festgestellt (Eudoxi ars V). Mond und Sonne bewegten sich in Spirallinien (ebd. IX. XX. Astronomie S. 1838, 45), ähnlich die Planeten, außer wenn sie beim Rücklauf eine Hippopede beschrieben (Astronomie S. 1838, 54; o. § 11). Die Bahnen der Wandelsterne sind aufzufassen als die Resultanten von Rotationsantrieben, welche in verschiedenen Richtungen und mit verschiedener Energie stetig auf das Gestirn einwirken. Das sind die konzentrischen Sphären des E., die oben Astronomie § 10 behandelt worden sind. Besonders charakteristisch sind ihm die verschiedenen Umdrehungsgeschwindigkeiten der Sphären, erschienen; denn er hat das Werk, in welchem er seine Theorie entwickelte, περὶ ταχῶν überschrieben, o. Bd. II S. 1840.

15. Daß Erde, Mond und Sonne eine kugelförmige Gestalt haben und Erde und Mond ihr Licht von der Sonne empfangen, ferner daß unter leicht erkennbaren Voraussetzungen Verfinsterungen des Mondes oder der Sonne eintreten, stand für ihn nach dem Vorgange des Thales fest. Eudoxi ars Col. XIf. XVIII–XX. Der Radius des Erdschattens diente ihm zur Bestimmung des Abstandes des Mondes von der Erde. Um die Größe von Mond und Sonne abzuschätzen, scheint er ein ähnliches Verfahren wie später Aristarchos angewendet zu haben. Tannery Mém. de la Société des sciences de Bordeaux, 2. série, V (1883) 239f. Zeuthen Hist. des mathém. 186. Den Durchmesser der Sonne fand er, wie schon erwähnt, neunmal so groß als den des Mondes und den letzteren hat er wahrscheinlich zu 1/3 Erddurchmesser gerechnet. Hultsch Abh. Gesellsch. der Wiss. Göttingen, N. F. I nr. 5, 4 (die Angabe in Eudoxi ars Col. XX, daß E. den Mond für größer als die Erde gehalten habe, ist ebenso irrtümlich wie die Behauptung Col. XIXf., daß es keine totalen Sonnenfinsternisse gebe). Entsprechend dem Verhältnisse der Durchmesser war der Abstand der Sonne von der Erde mindestens neunmal so groß als der des Mondes. Tannery Hist. de l’astronomie 27. Das Volumen der Sonne setzte er mit Thales 720mal so groß als das des Mondes oder 27mal so groß als das der Erde. Hultsch Abh. zur Gesch. der Mathem. IX (1899) 193, 2.

Ein ausgeschmückter Bericht über diesen Zweig des wissenschaftlichen Strebens des E. hat sich bei Plutarch (non posse suaviter vivi sec. Epic. 1094 A) erhalten: Εὔδοξος δ' εὔχετο παραστὰς τῷ ἡλίῳ καὶ καταμαθὼν τὸ σχῆμα τοῦ ἄστρου καὶ τὸ μέγεθος καὶ τὸ εἶδος ὡς ὁ Φαέθων καταφλεγῆναι.

16. Das einzige Werk des E., von dem wir eine angenäherte Kenntnis besitzen, sind die Himmelserscheinungen, φαινόμενα. Diese hatte der König Antigonos dem Dichter Aratos mit dem Auftrage übergeben, sie in Verse zu setzen. Vita Arati III 59 Westerm. vgl. mit Arat. phaenom. 373f. Maass Aratea 385. Susemihl Lit.-Gesch. Ι 290, 21. Knaack o. Bd. II S. 393f. Zwar wird dieses Werk des E. in der Vita Arati I 53, 49. 54, 54 κάτοπτρον, Spiegel, genannt; doch ist das nur eine ungenaue Benennung statt ἔνοπτρον (u. § 18), gemeint aber sind hauptsächlich die φαινόμενα. Zuverlässige Auskunft gibt Hipparch in Arati et Eudoxi phaenom. 8, 15 Manit.: ἀναφέρεται εἰς τὸν Εὔδοξον δύο βιβλία περὶ τῶν φαινομένων σύμφωνα κατὰ πάντα σχεδὸν ἀλλήλοις πλὴν ὀλίγων σφόδρα. τὸ μὲν οὖν ἓν αὐτῶν ἐπιγράφεται ἔνοπτρον, τὸ δὲ ἕτερον φαινόμενα. πρὸς τὰ φαινόμενα δὲ τὴν ποίησιν συντέταχεν (Ἄρατος). Aus diesen Worten geht zugleich hervor, daß keines von den beiden Werken des E. in poetischer Form verfaßt war, und das bestätigen die zahlreichen, von Hipparch zitierten Fragmente. Es ist also bei Plut. de Pythiae orac. 402 F und Suid. s. Εὔδοξος fälschlich überliefert, daß E. die Phainomena in Versen geschrieben habe. Der unbekannte Gewährsmann hat die Phainomena des Arat mit denen des E. verwechselt, und dieser Irrtum ist, so töricht er auch war, noch in neuester Zeit wieder aufgenommen, jedoch von Maass a. a. O. 281 widerlegt worden.

Um uns ein Bild von den Phainomena des E. zu machen, müssen wir zunächst von Arat v. 733ff. absehen. Dieser Teil handelt über die διοσημεῖα oder, wie Maass 155 aus Hipparch und Boethos entnimmt, die προγνώσεις διὰ σημείων und beruht auf der Schrift περὶ σημείων eines Peripatetikers, vielleicht des Praxiphanes (Knaack o. Bd. II S. 397). Schalten wir ferner die von Arat als Einleitung vorausgeschickten Verse aus, so kann alles, was bei Arat 19–732 steht, als eudoxisch gelten. Arat hat sich an des E. Darstellung der Himmelserscheinungen eng angeschlossen, im Inhalte nichts Wesentliches und in der Form nur so viel geändert, als die Übertragung in Verse mit sich brachte. Hipp. in Arati et Eudoxi phaen. 6, 9. 8, 10. 24, 2. 22 Manit., und s. die von Hipparch 8ff. beigebrachten Vergleiche zwischen dem Texte des E. und den Versen des Arat (die Stellen des E. sind übersichtlich zusammengestellt von Manitius a. E. seiner Ausgabe, ausführlich erörtert von Maass a. a. O. 283ff.; über die Benennungen einiger Sternbilder zurzeit des E. vgl. Boll Sphaera 111f. 145ff. 174f.). Die Schrift des E. ist, wie das Gedicht des Arat. in zwei Abschnitte zerfallen, die eigentlichen Phainomena (bei Arat. 19–450, vgl. Hipparch. 182, 17–19) und die συνανατολαὶ καὶ συγκαταδύσεις (bei Arat 451–732. Hipparch. 184, 7 vgl. mit 122, 1. 182, 21), d. i. die Auf- und Untergänge aller Gestirne, berechnet für die mittlere Breite von Griechenland (Hipp. in Arati et Eudoxi phaen. 26, 11–16).

Indes hat E. betreffs der Polhöhe, welche seinen Beobachtungen der Auf- und Untergänge entsprach, mit einer nur ungefähren Abschätzung sich begnügt. Er setzte für Griechenland das Verhältnis des längsten Tages zum kürzesten = 5:3 (Hipparch. 26, 16–26), woraus auf eine Polhöhe (ἔξαρμα) von 40° 40' zu schließen ist (Manitius zu Hipparch. 291f.). Das würde nahezu auf die Lage von Kyzikos passen oder, wie Hipparch. 26, 19 rechnet, eine Polhöhe von rund 41° bedeuten, die für den Hellespont, nicht aber für Griechenland gilt. Dieser Unterschied kann dem E. nicht entgangen sein. Sicherlich hat er auch den Schatten des Gnomon für Mittelgriechenland beobachtet und ebenso wie später Hipparch (26, 11–13) die Höhe des Gnomon zu dem Mittagsschatten der Tag- und Nachtgleichen auf das glatte Verhältnis von 4:3 angesetzt. Daraus berechnet sich eine Polhöhe von 36° 52' (Manitius 291), die sehr nahe für die Lage von Knidos zutrifft. Doch kann E. nicht genauer wie später Hipparch gerechnet haben. Dieser setzte rund 37° (Hipparch. 26, 15) und ließ diese Abrundung als die mittlere Breite von Griechenland gelten, die er zugleich als die Polhöhe von Athen (obgleich diese nahezu 38° beträgt) ansetzte (ebd. 28, 24–27).

17. Während also früher festgestellt wurde, daß der gesamte Inhalt der Verse 19–732 des Arat als eudoxisch anzusehen ist, so dürfen wir nun weiter annehmen, daß in den Phainomena des E. noch manches andere Astronomische gestanden hat, was zur Übertragung in Verse nicht geeignet schien. Die vor kurzem erwähnte Theorie des Verhältnisses des längsten zum kürzesten Tage hat er gewiß nicht mit so wenigen Worten nur angedeutet, wie wir sie bei Arat 497–99 finden. Die Annahme, daß er außerdem auch einige Mitteilungen über die aus der Schattenlänge des Gnomon zu ziehenden Schlüsse gemacht habe, lag um so näher, als er durch ähnliche Beobachtungen zur Konstruktion eines Stundenzeigers für Tag und Nacht (§ 19) geführt worden ist. Da er ferner mit der Einteilung des Zodiakus in die zwölf Zeichen vertraut war, so liegt die Vermutung nahe, daß er sowohl darüber, als über die Teilung der Himmelskreise in kleinere Abschnitte gelegentlich sich geäußert hat.

Daß er seine Phainomena in späteren Lebensjahren in Knidos verfaßt habe (Maass 288), läßt sich nicht erweisen. Auch Athen, wo er um das vierzigste Lebensjahr gewirkt hat (o. § 2), ist als Abfassungsort in Betracht zu ziehen. Entscheiden wir uns für diesen Ort und diese Lebenszeit, so wird es um so erklärlicher, daß er später in Knidos eines außerordentlichen Rufes als Mathematiker und Astronom sich erfreute. Ein erheblicher Irrtum aber ist es, wenn Avienus (carm. 2, 53f. Holder) den Verfasser der Phainomena als Cnidius senex bezeichnet, denn E. ist nur 53 Jahre alt geworden (o. § I). Damit wird das von Maass a. a. O. herbeigezogene Argument für Zeit und Ort der Phainomena hinfällig.

Die Auszüge aus E. bei Vitruv. IX 4f. (ed. Rose 1899) hat Kaibel Herm. XXIX 93ff. mit den durch Hipparch überlieferten Fragmenten zusammengestellt. Er vermutet, daß die von Vitruv benutzte lateinische Übersetzung unmittelbar aus dem Werke des E. entnommen worden sei, gibt aber zu, daß dieselbe flüchtig und stark gekürzt, auch die Reihenfolge des vitruvischen Textes mitunter eine andere ist, als bei E. (ebd. 99f.). Dagegen äußert sich Thiel Griech. Studien H. Lipsius dargebracht, Leipzig 1894, 177ff., daß Vitruv aus einer sekundären Quelle geschöpft und überdies das von ihm mit mangelnder Sachkunde Excerpierte unter einander gemengt habe. Freilich wird man der Annahme von Thiel 182 schwerlich beistimmen, daß der Verfasser des Textes, aus dem die sekundäre Quelle geflossen ist, ein Exemplar des Aratos mit Scholien, die einiges aus E. enthielten, vor sich gehabt habe.

Als πόλος τοῦ κόσμου galt dem E. der Stern β des kleinen Bären. Hipp. in Arati et Eudoxi phaen. 30, 3 (E. hat hiermit nur eine angenäherte Bestimmung geben wollen; das Genauere bietet Hipparch 30, 5–8). Außerdem hat πόλος, besonders nach stoischem Sprachgebrauche, auch alle am Himmel sichtbaren und um den Pol sich drehenden Fixsterne bedeutet. Daher waren οἱ περὶ τοῦ πόλου συντάξαντες Schriftsteller, die, ähnlich wie E. und Arat, die φαινόμενα behandelten. Maass a. a. O. 138–142. Auch dem E. wird in dem Frg. D bei Maass 139 und zu Anfang der Eudoxi ars eine πόλου σύνταξις zugeschrieben; es sind damit aber lediglich die φαινόμενα gemeint. Maass 123f. 139f.

Die διοσημεῖα des Arat wurden o. § 16 auf eine peripatetische Schrift περὶ σημείων zurückgeführt. Die Annahme, daß ein mit einem Parapegma versehenes Werk des E. die Vorlage gewesen sei (Kaibel Herm. XXIX 102ff. Susemihl Lit.-Gesch. I 299, 76) wird von Knaack o. Bd. II S. 397 zurückgewiesen. Was E. für die Kalenderkunde geleistet und wie weit er in seiner Oktaeteris Unterlagen für die Verfasser von Parapegmen geliefert hat, wird u. § 20f. berührt werden.

18. Außer den φαινόμενα hat E., wie Hipparch an der o. § 16 angeführten Stelle meldet, ein ἔνοπτρον verfaßt, das mit dem erstgenannten Werke fast durchgängig übereinstimmte. Doch zeigen die Fragmente bei Hipparch 54. 56. 76 immerhin manche stilistische Abweichungen:

Phainomena		Enoptron
ὑπὲρ δὲ τὸν Περσέα καὶ τὴν Κασσιέπειαν οὐ πολὺ διέχουσά ἐστιν ἡ κεφαλὴ τῆς μεγάλης Ἄρκτου· οἷ δὲ μεταξὺ τούτων ἀστέρες εἰσὶν ἀμαυροί.		ὄπισθεν δὲ τοῦ Περσέως καὶ παρὰ τὰ ἰσχία τῆς Κασσιεπείας οὐ πολὺ διαλείπουσα ἡ κεφαλὴ τῆς μεγάλης ἄρκτου κεῖται. οἱ δὲ μεταξὺ ἀστέρες εἰσὶν ἀμαυροί.
ὑπὸ δὲ τὸ Κῆτος ὁ Ποταμὸς κεῖται ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ ἀριστεροῦ ποδὸς τοῦ Ὠρίωνος· μεταξὺ δὲ τοῦ Ποταμοῦ καὶ τοῦ πηδαλίου τῆς Ἀργοῦς, ὑπὸ τοῦ Λαγωόν, τόπος ἐστὶν οὐ πολύς, ἀμαυροὺς ἀστέρας ἔχων.		μεταξὺ δὲ (τοῦ Ποταμοῦ καὶ) τοῦ τῆς Ἀργοῦς πηδαλίου, ὑπὸ τοῦ Λαγωόν, ἀμαυροὺς ἀστέρας ἔχων, ἐστὶν οὐρανὸς οὐ μέγας.

Dazu kommt eine Stelle aus dem Enoptron allein, welche Hipparch 88, 18–22 zu Arat 467f. anführt. Auch hier mag in den Phainomena des E. ein ähnlicher Text gestanden haben; doch muß er immerhin derartige Abweichungen gezeigt haben, daß Hipparch sich begnügte, die im Enoptron überlieferte Fassung zu zitieren.

Außerdem hat eine bemerkenswerte sachliche Differenz zwischen beiden Schriften bestanden. In den Phainomena hat E. für die mittlere Breite von Griechenland das Verhältnis des längsten Tages zum kürzesten = 5:3 gesetzt (o. § 16 g. E.), dagegen hat er im Enoptron die Polhöhe seines Beobachtungsortes dahin bestimmt, daß dort der Abschnitt des Wendekreises über der Erde zu dem unter der Erde sich wie 12:7 verhalte (Hipp. 28, 9–13. wo mit τῷ ἑτέρῳ συντάγματι vgl. mit 76, 18 das Enoptron gemeint ist, nicht die Phainomena, wie Ideler Abh. Akad. Berl. 1830. 2, 53 annahm). Danach würden wir zu einer Polhöhe von 42° gelangen (Manitius zu Hipp. 292), die um ungefähr 11/2° über Kyzikos und um 4° über Athen hinaus liegt. Es beruhte also das Verhältnis 12:7, ähnlich wie das früher erwähnte 5:3, auf einer nur ungefähren Abschätzung; aber 5:3 wich doch merklich weniger von der mittleren Breite Griechenlands ab, und wir dürfen daraus ohne Bedenken den Schluß ziehen, daß E. das Enoptron mit dem Verhältnis 12:7 früher verfaßt hat als die Phainomena mit dem relativ richtigeren Verhältnis 5:3. Da nun überdies die aus 12:7 berechnete Polhöhe viel näher bei Kyzikos als bei Athen liegt, so wird wohl die erstere Stadt als Abfassungsort und ein nach einigen Jahren vor 368 (o. § 2) bemessener Zeitraum als die Abfassungszeit des Enoptron gelten dürfen (auf Kyzikos als Abfassungsort haben schon früher Ideler a. a. O. und Maass 287 hingewiesen).

19. Sosigenes (bei Simplic. in Aristot. de caelo 504, 17) bemerkt über die Sphärentheorie des E.: οὐ μὴν αἵ γε τῶν περὶ Εὔδοξον (διὰ τῶν ἀνελιττουσῶν σφαιροποιίαι) σώζουσι τὰ φαινόμενα (ähnlich auch der Schol. zu Aristot. de caelo 502 b 7–16). Eine sphaera des E., astris quae caelo inhaererent descripta, erwähnt Cic. de rep. I 22. Das Nähere ist aus dem Artikel Astronomie § 18f. zu ersehen. Einen drehbaren Himmelsglobus hat E. bei seinen Vorträgen jedenfalls zu Händen gehabt. Auf diesem waren der nördliche Pol, der Zodiakus mit seinen Zeichen und die übrigen in Griechenland sichtbaren Sternbilder dargestellt (a. a. O. § 18). Daran hatte Sosigenes nichts auszusetzen, wohl aber tadelte er, daß es dem E. nicht gelungen sei, die von 26 Sphären abhängigen Bewegungen der Wandelsterne (o. Bd. II S. 1839f.) darzustellen. Allein der alexandrinische Astronom hätte die abstrakte Theorie der Sphären (o. Bd. II S. 1839) unterscheiden sollen von den Versuchen, die scheinbaren Planetenläufe zugleich mit der Umdrehung der Fixsterne mechanisch darzustellen. Daß dies nur für kurze Zeiträume und in beschränkten Maßen möglich war, ist o. Astronomie § 19 gezeigt worden. Wohl aber lag nichts näher als für die astronomischen Vorträge einen aus Holz oder Stein oder Metall angefertigten Globus so herzurichten, daß die zeitweilig zur Erscheinung kommenden Abschnitte der Planetenbahnen mit Kreide oder Rötel eingezeichnet und später weggewischt werden konnten, um für andere Zeiten andern Zeichnungen Platz zu machen.

Vitruv. IX 7, 7–8, 1 (Rose) zählt dreizehn verschiedene Arten von Stundenzeigern, horologia, auf. Vgl. Künßberg E. von Knidos I, Progr. Dünkelsbühl 1888. 28f. Als das Wesentliche hebt Vitruv hervor, daß auf diesen Apparaten die Einteilung des längsten, des kürzesten und des der Nacht gleichen Tages in je zwölf einander gleiche Abschnitte ersichtlich seien. Das sei auch bei der Arachne des Astronomen E. der Fall gewesen; jedoch wird Näheres über ihre Einrichtung nicht mitgeteilt. Mit Recht betont Kauffmann o. unter Arachne (wo auch die frühere Literatur verzeichnet ist), daß der Name auf ein feines Drahtnetz, einem Spinnengewebe vergleichbar, hindeutet. So ist der Arachne o. Bd. II S. 1854 eine kugelförmige Gestalt beigelegt und das Hauptsächliche über ihre wahrscheinliche Einrichtung mitgeteilt worden. Nach Tannery Hist. de l’astronomie 49. 51 ff. war die Arachne eine Sonnenuhr, zugleich aber auch ein kugelförmiges, um eine Achse drehbares Netz, dessen mittlere Zone den Zodiakus mit seinen Bildern und mit der geneigten Lage zum Himmelsäquator darstellte. Da die Zwölftel des Zodiakus noch in kleinere Teile zerlegt waren, so konnte man bei Tage annähernd die von der Sonne eingenommene Stelle nach Zwölfteln oder Stunden der jeweiligen Tageslänge und bei Nacht den jeweiligen Weg, den der Schatten des Gnomon an dem vorhergegangenen Tage genommen hatte, erkennen (a. a. O. 54). Die Zwölftel der jeweiligen Tag- oder Nachtlängen mußten nach Bedarf in Äquinoktialstunden und Teile derselben umgesetzt werden. Mit Hülfe der in den Phainomena festgestellten Auf- und Untergänge der Gestirne konnte man für jede Stunde der Nacht annähernd die Stelle bezeichnen, welche einem Gestirn zu dieser Zeit auf dem Drahtnetze zukam. Durch diese Kombinationen, so fährt Tannery (54f.) fort, sei die Möglichkeit der Anwendung eines solchen Instrumentes nachgewiesen, aber eine genaue Wiederherstellung sei wegen der mangelhaften Überlieferung untunlich. Der ἀστρολάβος der alexandrinischen Astronomen (s. o. Astrolabium) sei wahrscheinlich eine für die Praxis geeignetere Umbildung der Arachne gewesen.

20. Nachdem Diog. VIII 87 aus Sotion ἐν ταῖς διαδοχαῖς Verschiedenes über E. und zuletzt über seinen Aufenthalt in Ägypten (o. § 2) berichtet hat, fügt er hinzu, daß derselbe nach andern Gewährsmännern (κατά τινας) damals auch eine ὀκταετηρίς verfaßt habe. Ein so betiteltes Werk schreibt ihm auch Suidas (s. Εὔδοξος) zu. Ferner geht aus Censor. 18, 5 hervor, daß der alexandrinische Astronom Dositheos über die Oktaeteris des E., wahrscheinlich unter dem Titel περὶ τῆς Εὐδόξου ὀκταετηρίδος, geschrieben hat (Hultsch oben Dositheos Nr. 9). Kurz vor ihm hatte Eratosthenes ein Werk περὶ τῆς ὀκταετηρίδος verfaßt und dabei eine damals unter des E. Namen umlaufende Oktaeteris für unecht erklärt (Achillis cod. Medic. bei Maass a. a. O. 14. Cod. Vatic. 191 ebd.). Die Blüte des Eratosthenes fällt etwa anderthalb Jahrhundert später als die des E., und während dieses Zeitraumes haben mehrere Astronomen mit der achtjährigen Schaltperiode sich beschäftigt (vgl. Censor. a. a. O.). Deshalb ist es wohl erklärlich, daß zu Eratosthenes Zeit an Stelle der echten Schrift des E., doch noch immer unter dem berühmten Namen dieses Autors, eine jüngere Überarbeitung getreten war, die nach Susemihl Lit.-Gesch. I 733 die Oktaeteris des Kriton von Naxos gewesen sein soll (vgl. Maass a. a. O. 14f.).

Trotzdem kann es nach Censorin, Plinius u. a., besonders nach Geminos in der εἰσαγωγὴ εἰς τὰ φαινόμενα und nach dem daran gefügten Kalendarium (χρόνοι τῶν ζῳδίων usw., auch als Parapegma des Geminos zitiert) nicht zweifelhaft sein, daß E. ein astronomisch-kalendarisches Werk geschrieben hat, dem wir nach der Überlieferung bei Diogenes den ganz zutreffenden Titel ὀκταετηρίς so lange belassen werden, als nicht eine bessere Benennung nachgewiesen ist.

In diesem Werke hat E. vieles von den Ägyptern entlehnt, dabei aber an die Stelle des ägyptischen Kalenders, für welchen ein Wandeljahr zu 365 Tagen oder 12 Monaten zu je 30 Tagen und außerdem 5 Schalttagen gültig war, das griechische Jahr zu 365 1/4 Tagen und 12 Mondmonaten, sowie den auf eine Periode von 8 Jahren zu verteilenden Schaltmonaten gesetzt, Gemin. elem. astron. 106, 4–116, 4 Manit. (κατ' Αἰγυπτίους καὶ κατ' Εὔδοξον 108, 5. 17). Strab. XVII 806. Boeckh Vierjährige Sonnenkreise 123ff. Tannery Hist. de l'astronomie 143f. Wie an den eben aus Geminos angeführten Stellen werden auch im milesischen Parapegma Beobachtungen über Auf- und Untergänge der Gestirne und über Witterungsanzeigen κατ' Εὔδοξον καὶ Αἰγυπτίους angeführt. Diels und Rehm S.-Ber. Akad. Berl. 1904, 107.

Früherem Brauche folgend hat E. den zwölf Tierkreiszeichen, insofern sie von der Sonne in je einem Monate von 30 oder 31 Tagen durchlaufen werden, die Namen von griechischen Göttern beigelegt, Mommsen Röm. Chronologie2 269f. 307f. Boll Sphaera 472ff.

21. Wir stellen nun das Wichtigste von dem teils durch alte Autoren bezeugten, teils durch Kombinationen ermittelten Inhalte der Oktaeteris, im Anschlusse an Boeckhs vierjährige Sonnenkreise, zusammen.

Isien und Winterwende. E. bei Gemin. elem. astron. 106ff. Boeckh 11f. Sommerwende. Boeckh 42ff. Tannery Hist. de l’astronomie 156f. Frühaufgang des Hundssternes auf den 23. Juli gesetzt. Jahresanfang. E. hinter Gemin. 212, 4 (182, 1 bei Wachsmuth Lyd. de ostentis2). Plin. n. h. II 130. Boeckh 58ff. Die eudoxischen Jahrpunkte, ihre Zeitabstände und die Tagzahlen der Zeichen. E. hinter Gemin. 224, 4. 228, 19. Eudoxi ars Col. XXII 24. XXIII 5. 11. Colum. de r. r. IX 14, 12. Boeckh 64ff. Boll Sphaera 62, 64. 319. Die eudoxische Abmessung der Zeichen des Tierkreises. Eudoxi ars XVI 1–5. Boeckh 71ff. Die Jahreszeiten. E. bei Ptolem. apparit. (Lydi de ostent.2 Wachsm.) 268, 17. 269, 11 u. ö. Boeckh 75ff. Der vierjährige Sonnenkreis, der Schalttag und das Verhältnis des Sonnenkreises zur Oktaeteris. Gemin. elem. astron. 108ff. Strab. XVII 806. Censor. 18, 4f. Boeckh 123ff. 159ff. Künßberg E. von Knidos I, Progr. Dünkelsbühl 1888, 35ff. Die Episemasien oder Witterungsanzeigen. E. im milesischen Parapegma 456 D, a 5. b 9ff. (Diels und Rehm S.-Ber. Akad. Berl. 1904, 107f., vgl. Χρόνοι τῶν ζῳδίων hinter Gemin. astron. 218, 3. 220, 23f. Manit.); ebd. in den Χρόνοι τῶν ζῳδίων 210, 16. 212, 6. 13. 23 usw.; bei Ptolem. apparit. (Lyd. de ostent.2 Wachsm.) 201, 8. 208, 13–211, 3. 211, 8. 212, 1 usw. Boeckh 226. 232ff, 393ff. Eudoxisches Parapegma. Boeckh 382ff. (vgl. Mommsen Chronol. 56. 63ff. Tannery 16). Über die Parapegmen der alten Astronomen handelt ausführlich Wachsmuth Prolegom. zu Lyd. de ostent.2 LVIIIff. Über die Fragmente von zwei monumentalen Parapegmen aus dem 2. Jhdt. v. Chr., bei denen Bronzestifte mit dem bürgerlichen Datum in die noch erhaltenen Löcher des astronomischen Kalenders zu den entsprechenden Tagen beigesteckt wurden, berichten Diels S.-Ber. Akad. Berl. 1903, 997; Diels und Rehm ebd. 1904, 92ff.

22. Unter den Gelehrten, die zuerst es unternahmen, der Geographie näher zu treten, nennt Strab. I 1 hinter Anaximander, Hekataios und Demokrit den E. (vgl. Boeckh a. a. O. 17ff. Berger Wissenschaftl. Erdk. d. Griechen2 246f.) und rühmt dessen geographische Kenntnisse auch IX 390f. In gleichem Sinne führt er X 465 den Historiker Polybios als Zeugen dafür an, daß E. die Gründungsgeschichten griechischer Städte, die Verwandtschaften ihrer Bevölkerungen, auch die etwaigen Auswanderungen der Bewohner vortrefflich dargestellt habe. Zur Gründungsgeschichte von Samos (oder vielleicht von Sidon) hat auch die von E. berichtete Sage gehört, daß Pythagoras von Apollon gezeugt und in Sidon geboren sei, Iamblich. de Pythag. vita 5–7. Auch von der Scheu, die Pythagoras vor jedem Blutvergießen gezeigt habe, hat E. bei Porphyr. vit. Pythag. 7 erzählt. Dazu war ebenfalls ein passender Ort die Geschichte von Samos; doch kann E. nach den Andeutungen bei Porphyr. a. a. O. auch bei der Geographie von Ägypten oder Phoinikien darauf gekommen sein.

Daß E. ein geographisches Werk verfaßt hat, steht nach den eben angeführten Zeugnissen des Polybios und Strabon außer Zweifel. Daraus folgt weiter, daß an den zahlreichen Stellen, wo Strabon u. a. den E. ohne eine unterscheidende Beifügung zitieren, kein anderer als der berühmte Knidier gemeint ist. Betitelt war das Werk γῆς περίοδος und es umfasste in der Tat die ganze οἰκουμένη, deren Länge E. doppelt so groß als die Breite angesetzt hat (Agathem. Geogr. gr. min. II 471). Doch wußte er auch, daß die Erde als Weltkörper kugelförmig sei (o. § 15), und schätzte ihren Umfang auf 400 000 Stadien. Aristot. de caelo II 298 a 15. Tannery Hist. de l'astronomie 110f. Berger a. a. O. 265f. Die Erwähnung der ἄντοικοι in dem Fragmente des E. bei Aet. plac. IV 1, 7 (Diels Doxogr. Gr. 386) beweist, daß ihm die Hauptkreise der Erdkugel und unter diesen die beiden Wendekreise und der sie schneidende mittlere Meridian Ägyptens wohl bekannt waren (die ἄντοικοι bewohnten nach Gemin. elem. astron. 162, 21 den Schnittpunkt des Meridians eines Ortes der nördlichen Halbkugel mit dem entsprechenden Parallelkreise der südlichen Halbkugel).

Erwähnt wird die γῆς περίοδος als Werk des E. von Plut. de Iside et Osir. 353 C; non posse suaviter vivi sec. Epic. 1093 C. Agathem. Geogr. gr. min. II 471. Clem. Alex. adhort. 42 Pott. Athen. VII 288 c. IX 292 d. Diog. VIII 90 und Späteren. Boeckh Vierjährige Sonnenkreise 17ff. Brandes Vierter Jahresbericht des Vereins von Freunden der Erdkunde (1865) 48f. Insbesondere werden zitiert, wie Brandes 59ff. (frg. 7–37) nachweist, die Bücher I, II, IV, VI, VII, VIII. Wie die Fragmente 9–15 zeigen, hat E. im ersten Buche mit Armenien begonnen, ist dann nach Nordost zu den Massageten und nach Nord zu den Chabarenern und andern Umwohnern des Schwarzen Meeres, weiter auch zu den Sarmaten fortgeschritten. Gelegentlich ist er in demselben Buche auch auf die Wanderungen des typischen Herakles gekommen, die er vermutlich bis zu den Barbaren des Nordens sich erstrecken ließ. Im zweiten Buche erscheinen die Skythen und eine sonst unbekannte Insel Asdynis des Asowschen Meeres (bei Steph. Byz. s. Ἄσδυνις ist νῆσος κατὰ τὴν Μαιώτιδος λίμνην zu lesen, denn zugleich von der Μοίριδος λίμνη in Ägypten und von dem Skythenlande kann E. nicht in einem und demselben Buche gehandelt haben). Auch das dritte Buch, aus welchem kein Fragment zitiert wird, ist den Völkerschaften des Nordens gewidmet gewesen, denn im vierten Buche hat er, von Norden her dem eigentlichen Griechenland sich nähernd, Thrakien, Makedonien und die Chalkidike (von E. Χαλκίς benannt, vgl. o. Oberhummer Art. Chalkis Nr. 9) behandelt. Mit dem fünften Buche hat wahrscheinlich die Geographie von Griechenland und den griechischen Küstenländern begonnen, und diese muß, im Vergleich zu der Zahl von vier Büchern, die den entlegenen Völkern des Nordostens und Nordens gewidmet waren, auf mindestens ebensoviele oder noch mehr Bücher sich erstreckt haben. Dabei hat er gelegentlich auch Seitenblicke nach westlichen oder südwestlichen Gegenden geworfen. Mit welchem Buche er zu der eigentlichen Geographie des Westens gekommen ist und wie er dann weiter nach dem Keltenland (frg. 52), Hispanien, Libyen (frg. 48), Ägypten (frg. 38. 42. 54. 60–65), Phoinikien, dem Perserreiche (frg. 38. 59) und Indien (frg. 58) sich gewendet hat, liegt im Dunkeln, sodaß auch keine Vermutung über die Zahl der Bücher des ganzen Werkes ausgesprochen werden kann.

Die Geographie des Knidiers E. ist in einigen Fällen mit den ἱστορίαι des E. von Rhodos, einem geographischen, mit Fabeleien angefüllten Werke verwechselt worden, Susemihl Lit.-Gesch. I 697, 315 und oben Nr. 7.

23. In der Philosophie ist E. zwar von der platonischen Lehre ausgegangen, hat aber weiter eigene Wege eingeschlagen. Wie Zeller Philosophie der Griechen II4 1, 1039f. ausführt, ist ihm die Ideenlehre zu ideell und die Teilnahme am Leben zu nebelhaft erschienen. Um sie seinem naturwissenschaftlichen Denken näher zu bringen, habe er angenommen, daß die Dinge ihre Eigenschaften durch die Beimischung derjenigen Substanzen erhalten, denen dieselben ursprünglich zukommen (Aristot. Metaph. I 991 a 14); kurz, er habe an die Stelle der Ideen anaxagorische Homoiomerien gesetzt.

Besonders hat er die Entwicklung der Philosophie durch erstmalige Aufstellung einer wissenschaftlich begründeten Lehre vom höchsten Gute gefördert (Döring Gesch. der griech. Philosophie II 7). Dieses muß als letzter Zweck obenanstehen und daran kenntlich sein, daß es allgemein begehrt wird. Das ist die Lust, die von allen fühlenden Wesen um ihrer selbst willen begehrt wird, im Gegensätze zur Unlust, die von allen Wesen gemieden wird. Seine Beweisführungen fanden Beifall wegen der Güte seines Charakters, denn er erschien als ein hervorragend maßhaltender Mann, so daß er nicht als Freund der Lust solches zu sagen schien, sondern weil es sich in Wahrheit so verhalte. Aristot. Eth. I 1101 b 27–34. X 1172 b 9–26. Döring a. a. O. II 7f. Zeller a. a. O. 1040.

Auf die Beschäftigung mit der Physik weisen die oben § 4 erwähnten Vorträge περὶ θεῶν καὶ κόσμου hin; doch bleibt es ungewiß, ob E. dabei als Philosoph, oder nicht vielmehr bloß fachwissenschaftlich sich geäußert hat. Im letzteren Falle dürfte man annehmen, daß die Götter als Naturkräfte gedeutet worden sind.

Eine Schrift des Eratosthenes πρὸς Βάτωνα war, wie Susemihl Lit.-Gesch. I 422 vermutet, historisch-geographischen Inhalts. Demselben oder vielleicht auch dem philosophischen Gebiete sind wohl die κυνῶν διάλογοι zuzuteilen, welche Eratosthenes in der genannten Schrift als Werk des E. zitiert hat (Diog. VIII 89). Die Schrift soll ursprünglich in ägyptischer Sprache geschrieben und von E. nur übersetzt worden sein (Diog. a. a. O.); ihr Inhalt waren also nicht die statt des verderbten κυνῶν vermuteten κυνικῶν διάλογοι (Künssberg E. von Knidos I, Progr. Dünkelsbühl 1888, 18). Aber auch nicht νεκύων διάλογοι (ebd.), denn es ist nicht abzusehen, weshalb E. die dichterische Form νεκύων statt νεκρῶν vorgezogen haben sollte. Wenn wir uns erinnern, daß E. länger als ein Jahr mit den ägyptischen Priestern verkehrt hat (o. § 2. 13), so hat seine ganz auf ägyptischen Quellen beruhende Schrift vielleicht den Titel Γυμνῶν διάλογοι, Gespräche der ägyptischen, nur mit einem leichten Schurz bekleideten und daher Γυμνοί benannten Weisheitslehrer (Philostr. vit. soph. I 1), geführt.

24. Aus einem ägyptischen, jetzt im Louvre aufbewahrten Papyrus hatte Letronne den Text eines kalendarisch-astronomischen Traktates entnommen. Die von ihm vorbereitete Herausgabe ist dann von Brunet de Presle Notices et extraits des manuscrits XVIII 2 (1865), 25ff. besorgt worden. Eine zweite Ausgabe erfolgte unter dem Titel Eudoxi ars astronomica durch Blass in der Festschrift der Univ. Kiel zum 22. März 1887. Die Abschnitte ἀνατολαὶ τοῦ ἡλίου, πορεῖαι τοῦ ἡλίου und ἄστρων διαστήματα hat Wachsmuth in seine zweite Ausgabe des Lyd. de ostent. 299–301 aufgenommen. Eine Übersetzung ins Lateinische gibt Blass a. a. O., ins Französische Tannery Hist. de l’astronomie 283ff.

Ein Akrostichon zu Anfang der Schrift gibt als Titel Εὐδόξου τέχνη kund. Die Verse rühren ebensowenig wie der folgende prosaische Text (nach Blass 4ff. ebenfalls ursprünglich in Versen verfaßt) von E. selbst her. Boeckh Vierjährige Sonnenkreise 197 hält die Schrift für ein aus Vorträgen über die eudoxische Astronomie hervorgegangenes Schulheft, in welchem außer E. auch die Lehren andrer Astronomen benutzt worden sind, deren jüngster Kallippos ist, während der noch spätere Hipparch nicht vorkommt. Niedergeschrieben ist der Papyrus nach Boeckh 197ff. in den J. 193–190 v. Chr.; doch mag das Werk, aus welchem die damals gehaltenen Vorträge geflossen sind, schon etwas früher, etwa ein oder anderthalb Jahrhundert nach E. abgefaßt worden sein. Mit den Herausgebern zitieren wir den Papyrustext als Eudoxi ars, immer mit der Maßgabe, daß weder dieser Text noch das Werk, aus welchem er geflossen ist, von E. selbst herrühren. Tannery 23. 283 nennt nach dem Vorgange von Letronne das Werk die didascalie céleste des Leptines. Den daselbst vorkommenden astronomischen Daten liegt die Breite von Alexandria zu Grunde, Künssberg a. a. O. II (1890) 60.

Der Traktat verzeichnet zuerst als ἄστρων διαστήματα die Zahlen der Tage von der Sommerwende bis zur Frühlingstag- und Nachtgleiche (Col. I, vgl. die von Tannery 283 eingefügten Ergänzungen des verstümmelten Textes), beschreibt dann die (scheinbaren) Bahnen der Sonne, des Mondes und der Planeten (Col. I–V), unterscheidet den sichtbaren Teil der Himmelskugel von dem unsichtbaren, erwähnt die Wendekreise, den Äquator, den Zodiakus, die beiden Pole (Col. VIf.) und gibt zuletzt als οὐρανίου κόσμου τάξις und ἄστρων τάξις eine Übersicht über die Umdrehung des gestirnten Himmels, die Neigung des Zodiakus, die nach Jahren, Monaten und Tagen berechneten Wanderungen von Sonne und Mond während einer Oktaeteris, wobei auch der Finsternisse gedacht wird (Col. VII–XXIII).

Die Schrift enthält im ganzen nur dürftige Elemente der Astronomie, soweit diese im Dienste des Kalenderwesens steht, und gibt nicht im entferntesten ein Bild von den großartigen Leistungen des E., sie erhält jedoch ihren Wert dadurch, daß das allermeiste, was sie uns bietet, auf echte eudoxische Überlieferung zurückzuführen ist. Zwei irrtümliche, von dem Verfasser der Kompilation aus anderer Quelle eingefügte Angaben sind oben § 15 erwähnt worden.

[Hultsch. ]